Un conjunto de funciones acotadas y continuas bajo supnorma es un álgebra conmutativa con identidad de multiplicación

Question

Pregunta:

Sea $(X, d)$ sea un espacio métrico. Denotemos todas las funciones acotadas y continuas de $X \rightarrow \mathbb{R}$ como $BC(X,\mathbb{R})$ cuya topología es supnorma. Demostrar que $BC(X,\mathbb{R})$ es un álgebra conmutativa con una identidad de multiplicación

Pensamientos:

(1) Defino algunos ajustes básicos: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ y $(fg)(x) = f(x)g(x)$ . Además, para $\alpha \in \mathbb{R}$ definir $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$ .

(2) Entonces creo que tengo que demostrarlo en tres pasos, pero no sé cómo hacerlo, sobre todo lo que debo hacer sobre $\circ$ :

(i) $BC(X,\mathbb{R})$ es un álgebra:

para cada $a$ , $b$ , $c \in BC(X,\mathbb{R})$ satisfacen:

$a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$

$a \circ (b+c) = (a \circ b) + (a \circ c)$

$(a+b) \circ c = (a \circ c) + (b \circ c)$

(ii) $BC(X,\mathbb{R})$ es un álgebra conmutativa:

$a \circ b = b\circ a$ para todos $a$ , $b \in A$

(iii) $BC(X,\mathbb{R})$ tiene una identidad multiplicativa:

$a \circ 1 = 1 \circ a = a$ para todos $a \in A$

Me cuesta transformar $\circ$ a algo relacionado con la supnorma que puedo calcular. ¿Alguien puede darme alguna pista al respecto? Creo que puedo resolver el resto del problema.

Answer 1

Ahora lo que has hecho hasta ahora está casi completo. No has demostrado que $B(X,\Bbb R)$ es cerrado bajo las operaciones de multiplicación puntual y suma. Pero eso es fácil:

Si $f,g$ están acotadas y son continuas en $X$ entonces $\|f+g\| \leq \|f\| +\|g\|$ (donde $\| \|$ es la norma sup). Aquí he utilizado la famosa ineqaulidad del triángulo. Si no te la has encontrado antes, tómatela como un ejercicio (se deduce de la desigualdad del triángulo para los números reales). Demuestra que $f+g$ está limitada. Dejaré que demuestres que $f+g$ es continua. Por lo tanto $B(X,\Bbb R)$ se cierra por adición puntual.

Argumentos similares demuestran que $B(X,\Bbb R)$ es cerrado bajo multiplicación. Con esto y lo que has hecho, lo que buscabas demostrar está completo.