Cálculo Límite Recto Demostración

Question

Estoy tratando de probar: Si $\lim_{x\to a^+}f(x)=\infty$ y $\lim_{x\to a^+}g(x)=\infty$ entonces $\lim_{x\to a^+}(f(x)+g(x))=\infty$

Esto es lo que tengo:

Prueba:

$\forall M_1>0$ , $\exists\delta_1>0:0<x-a<\delta_1\implies f(x)>M_1$ .

$\forall M_2>0$ , $\exists\delta_2>0:0<x-a<\delta_2\implies g(x)>M_2$ .

Sea $M>0$ . Elija $\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}.$

Así $\delta\leq \delta_1$ y $\delta\leq\delta_2$ .

Supongamos que $0<x-a<\delta\leq\delta_1,\delta_2$ .

Así que.., $f(x)>M_1$ y $g(x)>M_2$ .

Mostrar $f(x)+g(x)>M$ .

Me quedo atascado aquí y no sé qué hacer. Si alguien me puede ayudar se lo agradecería mucho.

Answer 1

Toma $M>0$ . Desde $\frac M2>0$ hay algo de $\delta_1>0$ tal que $a<x<a+\delta_1\implies f(x)>\frac M2$ . Y hay algunos $\delta_2>0$ tal que $a<x<a+\delta_2\implies g(x)>\frac M2$ . Por lo tanto, si $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ , $$a<x<a+\delta\implies f(x)+g(x)>M.$$