Una cuestión básica relacionada con la compacidad

Question

Tengo que comprobar la compacidad de determinados subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ .

$A =\{(x, y) :xy = 1\}$

$B =\{(x, y) :x^2y^2 = 1\}$

$C =\{(x, y) :e^x = \cos y\}$

$D =\{(x, y) :\mid x\mid +\mid y \mid \leq 10^{100}\}$

El objetivo de esta pregunta no es sólo obtener respuestas. Necesito conceptos para abordar este tipo de problemas. Permítanme explicar donde me enfrento a dificultades.

Toma set $A$ ; Intuitivamente tengo claro que $A$ no es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^2$ ya que es cerrado pero ilimitado. Mi problema es que estoy teniendo problemas con la comprobación de la delimitación o no delimitación de subconjuntos dados. Aquí sé que el conjunto $A$ consiste en puntos que se encuentran en la hipérbola rectangular. Así que no tengo ninguna dificultad en juzgar que el conjunto $A$ no tiene límites. Pero no estoy seguro acerca de los demás. Ya que no soy capaz de averiguar establecerlos.

Edición: No quiero un enfoque gráfico para resolver estos problemas. Porque muy a menudo me enfrento a problemas en los que me encuentro incapaz de visualizar la gráfica de funciones dadas. Creo que debe haber alguna herramienta matemática disponible para hacer frente a esto.

Necesito ayuda para entender esto. Os estaría muy agradecido a todos.

Answer 1

Para ello se necesita el Teorema de Heine-Borel que dice que un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es compacta si es cerrada y acotada.

Para $B$ Obsérvese que la rama positiva de $xy = 1$ es un subconjunto de $B$ . Como no está acotado, $B$ no es compacto.

Para $D$ la constante $10^{100}$ es una pista falsa; el resultado es el mismo para cualquier constante positiva. Dibuje lo que $|x| + |y| \le 1$ y te harás una idea rápidamente.

Para $C$ mira la gráfica de $x=\log(\cos(y))$

Answer 2

Haz dibujos, o al menos visualízalos. En conjunto $B$ , $x$ puede ser arbitrariamente grande. Si elige cualquier $x\ne 0$ hay un $y$ tal que $x^2y^2=1$ . Por lo tanto, no existe ningún disco con centro en el origen que contenga todo $B$ .

También en juego $C$ , $x$ puede ser arbitrariamente grande negativo. Basta con elegir $y$ cerca de $\pi/2$ pero un poco por debajo. O bien tenga en cuenta que $y$ puede ser cualquier cosa que haga $\cos y$ positivo, y hay $y$ con esta propiedad, como $y=2n\pi$ donde $n$ es cualquier número entero positivo.

El conjunto $D$ está claramente acotado, está dentro del disco con centro el origen y radio $10^{100}$ . Así que hay que comprobar si $D$ está cerrado.