Como se indica en el título: cuándo un coeficiente binomial es un factorial, es decir, cuándo es $\binom{m}{j} = n!$ para algunos $m,j,n$ ? Hace un par de días estuve pensando en este problema porque en todos mis años de matemático (aficionado o no), sólo me he dado cuenta de un puñado de ellos.
Por supuesto, hay un par de casos triviales que hay que negar: el caso en que $n$ arbitrario $m = n!$ y $j=1$ , igualmente cuando $m$ arbitraria y $j=0$ y $n=0,1$ .
Decidí escribir un código de Mathematica para comprobarlo que puedo poner a disposición de quien esté interesado. Decidí calcular hasta $30!$ es decir $n=30$ y $m$ hasta $110$ . Sólo había $3$ coeficientes binomiales que eran factoriales (que no eran triviales) hasta la simetría del coeficiente binomial:
- $\dbinom{4}{2} = 6 = 3!$
- $\dbinom{10}{3} = 120 = 5!$
- $\dbinom{16}{2} = 120 = 5!$
Dado lo temprano que aparecen en los cálculos, sugiere que sólo hay un número finito de tales coeficientes binomiales, sin tener en cuenta los casos triviales. ¿Se sabe algo en este sentido? ¿Son estos realmente los sólo o hay más al acecho por ahí?
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¿Cómo llamarías a un par de números $n,m$ s.t. $n\choose m$ ¿es un factorial?
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@GregoryGrant No estoy seguro. ¿Existe ya un nombre para estas cosas? (Léase: ¿hay una respuesta por ahí y me estás llevando a ella?)
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Recuerdo que había una pregunta en MSE sobre la escritura de factoriales como productos de otros factoriales (de los que éste es un caso especial). No recuerdo si salió algo lo suficientemente útil como para responder a esta pregunta.
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@anon Es una pena. Desde entonces he computado hasta $n=100$ y $m=500$ y no han aparecido otros.
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Estos tienen que ser bastante raros. Considere: el mayor coeficiente binomial en la fila $m$ el coeficiente central, es menor que $2^m$ (ya que la suma de todos los coeficientes de esa fila es de ese tamaño). Así, para un valor determinado $n$ ya que $n!\approx (n/e)^n$ (no tengo en cuenta los factores subexponenciales), el valor mínimo de la fila $m$ donde podemos esperar encontrar $n!$ satisface $2^m\approx (n/e)^n$ o $m\approx n\log_2n$ . Pero entonces tenemos que "esquivar" todos los primos entre $n$ y $m\approx n\log_2n$ como factores potenciales para nuestros coeficientes binomiales, y esto va a ser muy difícil de hacer.
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@StevenStadnicki Ese es un análisis realmente bueno, definitivamente deja claro que estos son increíblemente infrecuentes - si es que existe alguno más allá de esos $3$ .