Los funtores Tor son los funtores derivados del producto tensorial. La observación inicial es que si $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ es un ses de módulos y $N$ es cualquier módulo (trabajemos sobre un anillo conmutativo fijo $R$ ), entonces $M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N \to 0$ es exacta, pero no tienes por qué ser exacto en el primer paso. (Esto es lo que significa "el producto tensorial es exacto").
Ahora bien, siempre que se tiene una secuencia de este tipo que no consigue ser exacta corta en un solo paso, la filosofía general es que debería ser el final de una secuencia exacta larga. La secuencia exacta larga debería ser como $$\dots \to ?_1 \to ?_2 \to ?_3 \to M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N \to 0$$ donde los signos de interrogación indican que aún no sabemos qué va ahí.
El planteamiento general viene dado por la teoría de functores derivados . Los funtores derivados permiten construir, asociados a un funtor exacto derecho (o izquierdo) $F$ una colección de functores $L_i F$ para $i \geq 0$ (de ahora en adelante sólo trataré el caso exacto), de manera que para cada ses $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ , el "casi ses" $$FM' \to FM \to FM'' \to 0$$ puede completarse a un les $$\dots \to L_2F(M'') \to L_1F(M') \to L_1F(M) \to L_1F(M'') \to FM' \to FM \to FM'' \to 0.$$ Esta larga secuencia exacta se basa en "homomorfismos de conexión" $L_nF(M'') \to L_{n-1}F(M')$ que deben ser functoriales en los ses.
La construcción exacta de un functor derivado utiliza resoluciones proyectivas del objeto $M$ y una cantidad razonable de búsqueda de diagramas. Le remitiré a libros sobre álgebra homológica.
Supongamos que consideramos el funtor que envía $M \to M \otimes N$ . Sus functores derivados se denotan $\mathrm{Tor}_i(M,N)$ . Esto significa que los functores Tor proporcionan la parte que falta del les que expande el "casi ses" del producto tensorial anterior.
Una de las razones por las que los functores Tor son tan útiles es que proporcionan un criterio muy eficaz para la planitud. Recordemos que un módulo $N$ es plana si la tensorización con ella es exacta. Cuando se deriva un functor exacto, sólo se obtiene el functor inicial en dimensión cero (en realidad, siempre se hace para esto), y luego cero en cualquier otra parte. Así que si $N$ es plana, $\mathrm{Tor}_i(M,N) = 0$ para $i>0$ . De hecho, utilizando las les, se puede demostrar fácilmente que la implicación es reversible, aunque sólo se tenga $\mathrm{Tor}_1(M,N)=0$ para todos $M$ .
Voy a poner un ejemplo en el que las cosas funcionan muy bien. Si $R$ es un anillo local noetheriano con campo residuo $k$ y $M$ es un finito $R$ -módulo, entonces resulta $M$ es gratis sólo si $\mathrm{Tor}_1(k,M)=0$ en particular, la libertad es lo mismo que la planitud (bajo estas hipótesis). (Para la demostración, véase el argumento del teorema 3.2 en el capítulo 14 de http://www.people.fas.harvard.edu/~amathew/CRing.pdf .)
Una aplicación de esto viene dada por la observación (que puede deducirse de esto) de que si el $\mathrm{Tor}$ functores del par $(k,k)$ desaparecen en dimensión alta, entonces la dimensión global del anillo es finito. Esto es bastante interesante porque la dimensión global es una afirmación sobre todos los módulos (y, estrictamente hablando, que implica a los functores $\mathrm{Ext}$ que derivan Hom, no Tor), mientras que la reducción anterior es a una que implica sólo el campo residuo.
Esta es, de hecho, la observación clave detrás de la mitad de la prueba de que un anillo local noetheriano es regular si su dimensión global es finita. Este argumento se puede encontrar en EGA 0-IV, sec. 17 (no presupone nada más allá de la teoría de dimensiones, sobre la que se puede leer en la sec. 16).
