¿Cómo evalúo este límite con una función integral?

Question

¿Podría alguien darme algunas indicaciones sobre cómo evaluar este límite?

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{\int_0^t x^9e^{-x^2}\,dx}{\int_0^t x^7e^{-x^2}\,dx}$$

No pido la solución completa, sólo una pista que me indique la dirección correcta. Agradezco su ayuda. Gracias.

Answer 1

No necesitamos evaluar las integrales.
Integrando por partes obtenemos \begin{align} \int_0^{\infty} x^9 e^{-x^2}dx&=-\frac{1}{2}\int_0^{\infty} x^8 (-2x)e^{-x^2}dx\\ &=-\frac{1}{2}\left[x^8 e^{-x^2} \right]_0^{\infty}+\frac{8}{2}\int_0^{\infty} x^7 e^{-x^2}dx\\ &=4\int_0^{\infty} x^7 e^{-x^2}dx. \end{align} Así que $$ \frac{\int_0^{\infty} x^9 e^{-x^2}dx}{\int_0^{\infty} x^7 e^{-x^2}dx}=4. $$ Creo que la pista "integración por partes" no sería suficiente, pero te he dejado algunos detalles para que completes los cálculos.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Con $\ds{\mu > 0}$ : \begin{align} &\color{#00f}{{\ds{\int_{0}^{\infty}x^{9}\expo{-x^{2}}\,\dd x} \over \ds{\int_{0}^{\infty}x^{7}\expo{-x^{2}}\,\dd x}}} =\left.-\,\partiald{}{\mu}\ln\pars{\int_{0}^{\infty}x^{7}\expo{-\mu x^{2}}\,\dd x} \right\vert_{\mu\ =\ 1} \\[3mm]&=\left.-\,\partiald{}{\mu}\ln\pars{\mu^{-4}\int_{0}^{\infty}x^{7} \expo{-x^{2}}\,\dd x}\right\vert_{\mu\ =\ 1} =\left.-\,\partiald{\ln\pars{\mu^{-4}}}{\mu}\right\vert_{\mu\ =\ 1} =\left.{4 \over \mu}\right\vert_{\mu\ =\ 1} =\color{#00f}{\Large 4} \end{align}

Answer 3

$\frac{\int_0^tx^9e^{-x^2}dx}{\int_0^tx^7e^{-x^2}}=\frac{-\frac{1}{2}(e^{-t^2}(t^8+4t^6+12t^4+24t^2+24)+24)}{-\frac{1}{2}(e^{-t^2}(t^6+3t^4+6t^2+6)+6)}=\frac{\frac{1}{2}e^{-t^2}(t^8+4t^6+12t^4+24t^2+24+24e^{t^2})}{\frac{1}{2}(e^{-t^2}(t^6+3t^4+6t^2+6+6e^{t^2}))}=\frac{t^8+4t^6+12t^4+24t^2+24+24e^{t^2}}{t^6+3t^4+6t^2+6+6e^{t^2}}=\frac{e^{-t^2}(t^8+4t^6+12t^4+24t^2+24)+24}{e^{-t^2}(t^6+3t^4+6t^2+6)+6}\to 4\,\,\,,\,as\,t\to\infty$