Números $n$ tal que la suma de dígitos de $n^2$ es un cuadrado

Question

Sea $S(n)$ sea la suma de dígitos de $n\in\mathbb N$ en el sistema decimal. Hace aproximadamente un mes, un amigo me enseñó lo siguiente:

$$S\left(9\color{red}{^2}\right)=S(81)=8+1=3\color{red}{^2}$$ $$S\left(10\color{red}{^2}\right)=S(100)=1+0+0=1\color{red}{^2}$$ $$S\left(11\color{red}{^2}\right)=S(121)=1+2+1=2\color{red}{^2}$$ $$S\left(12\color{red}{^2}\right)=S(144)=1+4+4=3\color{red}{^2}$$ $$S\left(13\color{red}{^2}\right)=S(169)=1+6+9=4\color{red}{^2}$$ $$S\left(14\color{red}{^2}\right)=S(196)=1+9+6=4\color{red}{^2}$$ $$S\left(15\color{red}{^2}\right)=S(225)=2+2+5=3\color{red}{^2}$$

Entonces, tengo lo siguiente:

Por cada $m\in\mathbb N$ cada una de las siguientes $7$ números es un cuadrado. $$S\left(\left(10^{(3m-2)^2}-1\right)^2\right),S\left(\left(10^{(3m-2)^2}\right)^2\right),\cdots,S\left(\left(10^{(3m-2)^2}+5\right)^2\right)$$

Sin embargo, tengo dificultades para encontrar $8$ consecutivos números. Esta es mi pregunta:

Pregunta : ¿Cuál es el máximo de $k\in\mathbb N$ tal que exista al menos un $n$ que cumple la siguiente condición?

Condición : Cada una de las siguientes $k$ números es un cuadrado. $$S\left((n+1)^2\right),S\left((n+2)^2\right),\cdots,S\left((n+k-1)^2\right),S\left((n+k)^2\right)$$

Obsérvese que tenemos $k\ge 7$ . ¿Alguien puede ayudar?

Añadido : Un usuario Peter encontró el siguiente ejemplo de $k=8$ : $$S\left(46045846^2\right)=8^2,S\left(46045847^2\right)=7^2,\cdots,S\left(46045852^2\right)=7^2,S\left(46045853^2\right)=8^2$$ Por lo tanto, tenemos $k\ge 8$ .

Answer 1

Como ha señalado Djalal Ounadjela en los comentarios, es probable que no exista tal máximo. k podemos esperar encontrar un n para cualquier k en un orden de magnitud n ~ 10^ m con aproximadamente $m/\log_{10}(m) \sim k$ .

PS: http://oeis.org/A061910 enumera los números n para los que la suma de los dígitos de n^2 es un cuadrado.