¿Hay algún ejemplo de dos conjuntos cerrados disjuntos en la topología de la Secuencia Racional?

Question

El conjunto de los números reales con la Topología de la Secuencia Racional no es normal por el Lemma de Jone. ¿Cuál es la muestra de dos conjuntos cerrados disjuntos que no pueden ser separados por dos conjuntos abiertos disjuntos?

Answer 1

Por desgracia, no se pueden dar ejemplos explícitos.

Primero describiré el espacio para establecer algunas notaciones. Sea $\Bbb P$ sea el conjunto de los números irracionales. Para cada $x\in\Bbb P$ deje $\langle q_k^x:k\in\Bbb N\rangle$ sea una sucesión de racionales convergentes a $x$ en la topología habitual en $\Bbb R$ . Para cada $n\in\Bbb N$ deje $B(x,n)=\{x\}\cup\{q_k^x:k\ge n\}$ . Sea $X$ sea el conjunto de los números reales con la siguiente topología: puntos de $\Bbb Q$ están aislados, y para cada $x\in\Bbb P$ , $\{B(x,n):n\in\Bbb N\}$ es una base local de conjuntos abiertos en $x$ . El espacio $X$ con esta topología es el espacio secuencial racional. Es evidente que todo subconjunto de $\Bbb P$ está cerrado en $X$ .

Sabemos por el Lemma de Jones que hay subconjuntos disjuntos $H$ y $K$ de $\Bbb P$ que no pueden separarse mediante conjuntos abiertos disjuntos. Sin embargo, no podemos identificar $H$ y $K$ con esa propiedad a menos que sepamos qué secuencias $\langle q_k^x:k\in\Bbb N\rangle$ para construir la topología. La razón es que si $H$ y $K$ son cualquier dos subconjuntos disjuntos de $\Bbb P$ podemos elegir las secuencias racionales de forma que $H$ y $K$ puede estén separados por conjuntos abiertos disjuntos en $X$ . En concreto, la partición $\Bbb Q$ en dos conjuntos densos $Q_H$ y $Q_K$ y elegir las secuencias racionales de modo que $q_k^x\in Q_H$ para cada $x\in H$ y $k\in\Bbb N$ y $q_k^x\in Q_K$ para cada $x\in K$ y $k\in\Bbb N$ . Entonces $\bigcup_{x\in H}B(x,0)$ y $\bigcup_{x\in K}B(x,0)$ son nbhds abiertos disjuntos de $H$ y $K$ respectivamente.