¿Para que valores de $\theta$ esta ecuación $x^{\cos\theta} +y^{\sin\theta }=1$ tiene soluciones en números enteros?

Question

¿Para que valores de $\theta$ hace esta ecuación $$ x ^ {\cos\theta} + y ^ {\sin\theta} = 1$ $ tienen soluciones en números enteros?

Nota: $x, y$ enteros, $\theta$ es número real.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si cualquiera de los exponentes es estrictamente positivo $(\alpha > 0)$, $(0,1)$ o $(1,0)$ es una solución, porque el $0^{\alpha} + 1^{\beta} = 1$ cualquier $\beta$. Esto ocurre para todos los $\theta \in (-\pi/2, \pi)$, y las hojas de dos casos:

• Un exponente es cero y el otro es estrictamente negativo: $\theta\in\{-\pi/2,\pi\}$. En este caso no hay solución... cualquier entero elevado a la cero potencia es $1$ (si está definido), pero no entero elevado a una potencia negativa es $0$.
• Ambos exponentes son estrictamente negativo: $\theta \in (\pi, 3\pi/2)$.

En el segundo caso, queremos $$ \frac{1}{x^\alpha} + \frac{1}{y^\sqrt{1-\alpha^2}}=1 $$ para algunos $\alpha \in (0,1)$ y enteros $x,y$. Si $x$ o $y$ $0$ o negativo, la expresión no está definida, y si $x$ o $y$$1$, entonces el lado izquierdo es estrictamente mayor que $1$; por tanto, debemos tener $x,y\ge 2$. Fix $x$ $y$ y tener en cuenta el comportamiento de la mano izquierda, como hemos varían $\alpha$: $$ f(\alpha;x,y)=e^{-\alpha \log x}+e^{-\sqrt{1-\alpha^2}\log y}, $$ así $$ f'(\alpha;x,y)=-\log x e^{-\alpha\log x}+\frac{\alpha \log y}{\sqrt{1-\alpha^2}}e^{-\sqrt{1-\alpha^2}\log y}, $$ que va de la $-\log x < 0$$\alpha=0$$+\infty > 0$$\alpha=1$; y $$ f"(\alpha;x,y)=(\log x)^2 e^{-\alpha\log x}+\left(\frac{\alpha^2 (\log y)^2}{1-\alpha^2}+\frac{\log y}{\sqrt{1-\alpha^2}}-\frac{\alpha^2 \log y}{(1-\alpha^2)^{3/2}}\right)e^{-\sqrt{1-\alpha^2}\log y}, $$ que siempre es positivo. (*Creo.) Así, para cada $x,y$, no hay una única mínimo de $f(\alpha;x,y)$ con respecto al $\alpha$, en el que $$ \frac{\alpha\log y}{y^{\sqrt{1-\alpha^2}}}=\frac{\sqrt{1-\alpha^2}\log x}{x^{\alpha}}. $$ Dependiendo de si el valor de $f$ en este punto es menor que, igual a, o mayor que $1$, habrá $2$, $1$, o $0$ soluciones en $\alpha$ a la ecuación original para esta $(x,y)$ par. La comprobación de esto numéricamente, nos encontramos con que no hay soluciones para$(x,y)=(2,2)$$(x,y)=(2,3)$, y hay dos soluciones para cada uno de los otros $(x,y)$ par con $x,y\ge 2$.

Answer 2

Para todo par de números naturales (n,m) tenemos $\frac{1}{n} + \frac{1}{m}$$\leq$ $n^{cos\theta}$+ $m^{sin\theta}$$\leq n+m$ porque
$\frac{1}{n}$$\leq$ $n^{cos\theta}$$\leq{n}$ y lo mismo para la de los senos paranasales; por lo tanto, cuando se $\frac{1}{n} + \frac{1}{m}$<1 uno tiene por la continuidad, un valor de $\theta$ (en realidad infinitamente muchos por periodicidad) para los cuales se pide la igualdad se verifica. Por lo tanto, si $ 3\leq n, m$ siempre hay solución para (n,m). Qué valores de $\theta$? No sé. Para (2,2) y (2,3) no hay solución porque el mínimo de $2^{cos\theta}$+$2^{sin\theta}$ y $2^{cos\theta}$ +$3^{sin\theta}$ son ambos mayores que 1. Sin embargo, para (2,m) con $4\leq{m}$ tenemos soluciones (que era buena, y mi edición era malo, así que me la borraron)