Es el término restante en una aproximación polinómica de Taylor para $\log{(1+x)}$ ¿Correcto en el Cálculo de Spivak, Cap. 20?

Question

En el capítulo 20 de la obra de Spivak Cálculo 4ª edición página 427 está escrito

A partir de los cálculos de la página 413, vemos que para $x\geq 0$ tenemos

$$\log{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\frac{(-1)^n}{n+1}t^{n+1}\tag{1}$$

donde $$\left | \frac{(-1)^n}{n+1}t^{n+1}\right |\leq \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

y existe una estimación algo más complicada cuando $-1<x<0$ (Problema 16).

Por lo que sé, la última legislatura en $(1)$ $$\frac{(-1)^n}{n+1}t^{n+1}\tag{2}$$ es el término restante cuando utilizamos una aproximación polinómica de Taylor.

Sin embargo, ¿no se supone que este resto es

$$R_{n,0}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-0)^{n+1}, t\in (0,x)$$

$$=\frac{(-1)^n \cdot n!}{(1+t)^{n+1}}\cdot \frac{1}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}, t\in (0,x)$$

$$=\frac{(-1)^n x^{n+1}}{(1+t)^{n+1}(n+1)}\tag{3}$$

?

Utilicé

$$f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(1+x)^k}$$

así

$$f^{(k+1)}(t)=(-1)^{k} \frac{k!}{(1+t)^{k+1}}$$

¿Estoy cometiendo algún error tonto?

Es el término restante $(2)$ o $(3)$ ?

Answer 1

Spivak no lo dejó claro. No está aplicando la fórmula del resto. Está ilustrando que en algunos casos se puede hacer mejor que la fórmula. (Él ha pasado por un argumento muy similar con $\arctan$ justo antes de este punto). Aquí es crucial que tengamos $x\ge 0$ . Empezando por nuestro $$\frac1{1+u} = 1-u+u^2+\dots+ (-1)^{n-1}u^{n-1} + (-1)^n \frac{u^n}{1+u}$$ e integrando, tenemos $$\log(1+x) = x-\frac{x^2}2+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n + (-1)^n\int_0^x \frac{u^n}{1+u}du.$$ Ahora, para $x>0$ tenemos $$0<\int_0^x \frac{u^n}{1+u}du < \int_0^x u^n\,du = \frac{x^{n+1}}{n+1}.$$ Del teorema del valor intermedio se deduce que $$\int_0^x \frac{u^n}{1+u}du = \frac{t^{n+1}}{n+1} \quad \text{for some } 0<t<x.$$