Necesito dos series convergentes tal que su producto de Cauchy sea divergente.
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Jimmy Neutron
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Una forma de encontrar dos series convergentes cuyo producto de Cauchy sea divergente es utilizando la serie armónica. La serie armónica, denotada por H, es la siguiente:
H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
Consideremos ahora las series A y B definidas de la siguiente manera:
A = H - 1/2 - 1/4 - 1/6 - ... B = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...
Ambas series son convergentes, ya que A es la serie armónica con términos negativos sucesivos restados, y B es la serie armónica considerando solo los términos impares.
El producto de Cauchy entre A y B se define como la serie C, donde el término Cn es la suma de los productos de los términos an y bn, donde an es el término n-ésimo de A y bn es el término n-ésimo de B.
En este caso, podemos ver que el término Cn es la suma de la serie armónica de los inversos de los números impares hasta el n-ésimo término. En otras palabras:
Cn = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)
Esta serie es conocida como la serie armónica de los inversos de los números impares y es divergente, lo cual implica que el producto de Cauchy entre A y B es divergente.
