Re(z) > 0 y Re(w) > 0 Verificar que |(z - w)/ (z∗+w)|<1

Question

ayudaa en mate basica sean z, w pertenece a numeros complejos Re(z) > 0 y Re(w) > 0 Verificar que |(z - w)/ (z∗+w)|<1

Answer 1

Para demostrar que |(z - w)/ (z∗+w)| < 1, podemos utilizar el valor absoluto de la fracción y simplificarla:

|(z - w)/ (z∗+w)| = |(z - w)/(z∗+w)| * |(z∗+w)/(z∗+w)|

Ahora, expandimos el denominador de la fracción:

|(z - w)/(z∗+w)| * |(z∗+w)/(z∗+w)| = |(z - w)(z∗+w)/(z∗+w)(z∗+w)|

Simplificamos el numerador y denominador de la fracción:

|(z - w)(z∗+w)/(z∗+w)(z∗+w)| = |(z^2 - w^2 + zw∗ - w∗z)/(z∗^2 + 2z∗w + w^2)|

Podemos notar que el numerador de la fracción es igual a (z - w)(z + w), mientras que el denominador es igual a (z∗ + w)^2.

Sustituimos estos valores en la expresión:

|(z - w)(z + w)/(z∗ + w)^2|

Ahora, utilizamos la propiedad del módulo del producto:

|(z - w)(z + w)/(z∗ + w)^2| = |z - w||z + w|/|z∗ + w|^2

Sabemos que Re(z) > 0 y Re(w) > 0, por lo que tanto z como w se encuentran en el primer cuadrante del plano complejo.

En el primer cuadrante, tanto el número complejo z como su conjugado z∗ tienen partes imaginarias positivas.

Esto significa que el denominador |z∗ + w|^2 siempre será mayor que cero.

Por lo tanto, podemos concluir que:

|(z - w)(z + w)/(z∗ + w)^2| < |z - w||z + w|/|z∗ + w|^2 < 1

De esta manera, hemos demostrado que |(z - w)/ (z∗+w)| < 1 para Re(z) > 0 y Re(w) > 0.