Mapas exóticos $S_5\to S_6$

Question

Esta sección dice:

Hay un subgrupo (de hecho, $6$ subgrupos conjugados) de $S_6$ que son abstractamente isomorfas a $S_5$ ,

En este punto estoy pensando: ciertamente: el grupo de todas las permutaciones de $\{a,b,c,d,e,f\}$ que dejan la carta $a$ fijo es isomorfo a $S_5$ . Y hay seis grupos como éste, ya que se puede elegir cualquiera de las seis letras como la que quedará fija. Pero la sección continúa:

Hay un subgrupo (de hecho, $6$ subgrupos conjugados) de $S_6$ que son abstractamente isomorfas a $S_5$ y transitiva como subgrupos de $S_6$ .

Pero los grupos que identifico arriba no actúan transitoriamente en $\{a,b,c,d,e,f\}$ , por lo que debe tratarse de algún otro subgrupo. ¿Cuáles son? ¿Son imágenes de los seis grupos que menciono arriba bajo un automorfismo exterior?

Answer 1

En principio te mostraré cómo se hace, pero la mecánica real es tediosa. Déjalo:

$$P_1 = \{e,(1\ 2\ 3\ 4\ 5),(1\ 3\ 5\ 2\ 4), (1\ 4\ 2\ 5\ 3),(1\ 5\ 4\ 3\ 2)\}\\ P_2 = \{e, (1\ 2\ 3\ 5\ 4),(1\ 3\ 4\ 2\ 5),(1\ 5\ 2\ 4\ 3),(1\ 4\ 5\ 3\ 2)\}\\ P_3 = \{e,(1\ 2\ 4\ 3\ 5),(1\ 4\ 5\ 2\ 3), (1\ 3\ 2\ 5\ 4), (1\ 5\ 3\ 4\ 2)\}\\ P_4 = \{e, (1\ 2\ 4\ 5\ 3),(1\ 4\ 3\ 2\ 5), (1\ 5\ 2\ 3\ 4), (1\ 3\ 5\ 4\ 2)\}\\ P_5 = \{e,(1\ 2\ 5\ 3\ 4),(1\ 5\ 4\ 2\ 3), (1\ 3\ 2\ 4\ 5), (1\ 4\ 3\ 5\ 2)\}\\ P_6 = \{e,(1\ 2\ 5\ 4\ 3), (1\ 5\ 3\ 2\ 4), (1\ 4\ 2\ 3\ 5), (1\ 3\ 4\ 5\ 2)\}$$

Si elegimos un elemento $\sigma$ de $S_5$ , digamos que $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ encontramos que..:

$$\sigma P_1\sigma^{-1} = P_5\\ \sigma P_2\sigma^{-1} = P_3\\ \sigma P_3\sigma^{-1} = P_6\\ \sigma P_4\sigma^{-1} = P_2\\ \sigma P_5\sigma^{-1} = P_4\\ \sigma P_6\sigma^{-1} = P_1$$

Es decir, si $\phi:S_5 \to S_6$ es nuestra (exótica) incrustación, entonces:

$\phi((1\ 2\ 3)(4\ 5)) = (1\ 5\ 4\ 2\ 3\ 6)$ (nótese que esto efectivamente toma un elemento de orden $6$ a un elemento de orden $6$ ). Debe quedar claro que si $\sigma \in S_5$ es un $5$ -Ciclo, fija el silo $5$ -subgrupo al que pertenece, y permuta el resto, elige uno al azar, y verifica que crea un $5$ -ciclo en $S_6$ .

Tenga en cuenta que sólo necesitamos el $3$ -ciclos de $S_5$ para demostrar que esta acción es efectivamente transitiva; por ejemplo, enviar $P_1 \to P_5$ podemos conjugar por el $3$ -ciclo $(3\ 5\ 4)$ (He elegido deliberadamente el $5$ -generadores de ciclo para empezar $(1\ 2\ \dots)$ para dejarlo claro).

Answer 2

Tenga en cuenta que $S_5$ contiene un subgrupo de orden $20$ (generado por, por ejemplo, $(1,2,3,4,5)$ y $(1,3,4,2)$ ). La acción de $S_5$ en el $6$ cosets de un subgrupo de orden $20$ proporciona una representación de permutación de $S_5$ en $6$ puntos. Y sí, un automorfismo exterior mapea este tipo de $S_5$ al primer tipo en el que estabas pensando.