Demostrando eso si $p ^ 2 = a ^ 2 + 2b ^ 2$ entonces $ $p puede escribirse en forma $a ^ 2 + 2b ^ 2$

Question

Soy estudiante de la escuela secundaria, y este problema me ha molestado durante aproximadamente 2 semanas. Yo no necesariamente necesita una solución, pero, por ejemplo, mencionando un útil teorema o propiedad que me podría ayudar a demostrar que este iba a ser agradable.

Si $p^2$ puede ser escrita en la forma $a^2 + 2b^2$ mostrar que también $p$ puede ser escrito en la misma forma, donde $p$ es un número primo, y $a,b\in\mathbb{Z},b\neq0$.

Hasta este punto he intentado casi todo lo que viene en mi imaginación. Puedo asumir que $p$ es impar desde $2^2$ no puede ser escrita en la forma deseada. A partir de esto puedo concluir $$ también debe ser impar. De esto que también se puede sustituir $2z + 1 = p$ a lado izquierdo de esta ecuación que se obtiene de la asunción ($p^2 = a^2 + 2b^2$). El lado izquierdo ($p^2$) se parece a esto cuando me ampliar cuadrado: $4z^2 + 4z + 1$. A partir de aquí, he restado $4z^2$ y $2z$ de ambos lados de la ecuación, acaba de salir $2z + 1= p$ en el lado izquierdo. El lado derecho se vería como esto: $a^2 + 2b^2 - 4z^2 - 2z$, y no sé cómo demostrar algo en que lío de términos, forma un cuadrado perfecto.

Este problema comenzó a parecer aún más místico para mí, una vez he investigado un par de ejemplos. Para mi sorpresa, no parece obvio que las relaciones entre $a$ y $b$ por $p$ y $p^2$. No podía ser, así que mi enfoque es completamente equivocado, y no es posible deducir $a$ y $b$ por $p$ de esos números por $p^2$?

También traté de encontrar relaciones escribiendo una ecuación basada en esto así que $p$ es constante y $a$ y $b$ fueron variables. Luego he investigado si la curva cruzó cualquier punto de que había coordenadas enteras y, a continuación, en comparación con puntos de referencia para las diferentes constantes, especialmente para los diferentes $p^2$ y $p$. He utilizado también de manera implícita diferenciación a ver si hay armonía en su colocación en la elipse (curva siempre es la elipse de la misma forma, pero el tamaño de la misma varía en función de la constante), pero hasta ahora no he encontrado nada.

Puedo añadir que estoy bastante familiarizado con las matemáticas, así que agradecería si consejo sería comprensible para la persona que no tiene un conocimiento muy profundo de las matemáticas.

Answer 1

Aquí está una primaria de la prueba.

Desde $p^2=a^2+2b^2$, tenemos $2b^2=(p-a)(p+a)$. Desde $b\no=0$, tenemos $\gcd(a,b)=1$ y, en consecuencia, $\gcd(p,p+a)=2$. Vamos a escribir $m=(p-a)/2$ y $n=(p+a)/2$, de modo que $\gcd(m,n)=1$ y $mn=2\beta^2$, donde $\beta=b/2$. (Es fácil ver que $b$ a debe ser par.)

Sin pérdida de generalidad (desde $un$ puede ser positivo o negativo), podemos suponer que $m$ es par. Pero desde $\gcd(m,n)=1$, ahora debemos tener $m=2r^2$ y $n=s^2$, $\gcd(2r,s)=1$, es decir, cada factor primo de $\beta$ pertenece en su totalidad a cualquiera de los $m$ o de $n$. Así que ahora tenemos

$$m={p\over2}=2r^2$$ y $$n={p+a\over2}=s^2$$

a partir de la cual se deduce que

$$p=s^2+2r^2$$

Answer 2

Supongamos que $p$ es impar y el uso de un poco de la teoría algebraica de números.

En el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, que tiene el anillo de enteros de $\mathbb{Z}[-2]$. Este es un dominio de Dedekind, de modo que los ideales factor de forma única, y por lo que un PID.

Por la pregunta que nos tenemos $(p^2)=(p)^2=(a^2+2b^2)$ y queremos $(p)=(c^2+2d^2)$, entonces $p=u(c^2+2d^2)$ por alguna unidad $u$ (las únicas unidades en $\mathbb{Z}[-2]$ $\pm 1$, y por señas, $u=1$).

Se ha demostrado (a.c.f. Irlanda y Rosen, página 190) $(p)$ divide a un producto de uno o dos prime ideales en una de tres maneras. Esto depende de dos condiciones en $p$.

(Deje que $P,P'$ ser distinto primer ideales a lo largo).

• Para un número finito de $p$ (condición: $p\mediados de -8$, $-8$ siendo el discriminante del campo), $(p)=P^2$. Pero esto sólo se refiere a $p=2$ por lo tanto, pasar a los casos donde $p \no \mediados de -8$.

• Si $x^2=-2 \text{ mod }p$ es soluble en $\mathbb{Z}$, entonces $(p)=PP'$. $\mathbb{Z}[-2]$ es un PID por lo que $(p)=(x)(y)=(xy)$ para $x \ne y$ y $p=uxy=\pm xy$. Necesariamente $x=\bar{y}=c+d + \sqrt{-2}$ y por lo tanto el resultado.

• Si no soluble, entonces $(p)=P$, en cuyo caso el resultado no podía celebrar. Pero si $(p)$ es primo, $p$ es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, entonces $p^2=(a+\sqrt{-2}b)(a-\sqrt{-2}b)$ implica que $(a+\sqrt{-2}b),(a-\sqrt{-2}b)$ son los principales. Pero entonces $a=p,b=0$ por factorización única.