Matrices polinomios

Question

Dada A y B dos matrices cuadradad, bajo qué condiciones se verifica que A^3-B^3=0 implica A=B.

Answer 1

Si A y B son dos matrices cuadradas y A^3 - B^3 = 0, entonces podemos factorizar la expresión como (A - B)(A^2 + AB + B^2) = 0. Ahora, si suponemos que A y B son diferentes, entonces (A - B) es una matriz no nula.

Además, si multiplicamos (A - B)(A^2 + AB + B^2) = 0 por la izquierda y por la derecha por la matriz inversa (A - B)^-1, obtenemos:

(A - B)^-1 (A - B) (A^2 + AB + B^2) (A - B)^-1 = (A - B)^-1 0 (A - B)^-1

lo que simplifica a:

A^2 + AB + B^2 = 0

Ahora, si multiplicamos la ecuación anterior por A - B por la izquierda y por la derecha, obtenemos:

(A - B) (A^2 + AB + B^2) (A - B) = 0

que se puede simplificar a:

A^3 - B^3 - AB(A - B) = 0

Pero A^3 - B^3 = 0 por hipótesis, lo que nos da:

• AB(A - B) = 0

Si A y B son diferentes, entonces A - B es una matriz no nula, lo que implica que AB = 0. Pero si AB = 0, entonces A y B conmutan, es decir, AB = BA. En este caso, podemos utilizar la identidad (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 para obtener:

(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B)

Pero A^3 - B^3 = 0 por hipótesis, lo que nos da:

(A + B)^3 = 3AB(A + B)

Ahora, si multiplicamos la ecuación anterior por A - B por la izquierda y por la derecha, obtenemos:

(A - B) (A + B)^3 (A - B) = 3AB(A - B)^2

que se puede simplificar a:

A^4 - B^4 = 3A^2B^2 - 3ABAB

Pero AB = 0, lo que nos da:

A^4 = B^4

Y como A y B son matrices cuadradas, podemos tomar la raíz cuarta de ambos lados de la ecuación anterior para obtener:

A = B

Por lo tanto, hemos demostrado que A^3 - B^3 = 0 implica A = B si y solo si A y B conmutan y AB = 0.