Medidas complejas: Jacobiano

Question

Esta es una continuación de: Densidades

Dada una medida compleja.

Consideremos otra medida compleja: $$\nu:\Sigma(\Omega)\to\mathbb{C}$$

Criterio para los jacobianos: $$|\nu|\ll|\mu|\iff\nu\int J\mathrm{d}\mu\quad(J\in\mathcal{L}(\mu))$$

Así que para la integrabilidad se tiene: $$f\in\mathcal{L}(\mu)\iff fJ\in\mathcal{L}(\nu)$$ Y la integral se calcula como: $$f\in\mathcal{L}(\mu):\quad\int f\mathrm{d}\nu=\int fJ\mathrm{d}\mu$$

¿Cómo demostrar estas relaciones?

Answer 1

Para las medidas complejas se tiene: $$\mu=\int u\mathrm{d}|\mu|\quad(|u|=1)$$ $$\nu=\int v\mathrm{d}|\nu|\quad(|v|=1)$$ y para su integral por definición: $$f\in\mathcal{L}(\mu):=\mathcal{L}(|\mu|):\quad\int f\mathrm{d}\mu:=\int fu\mathrm{d}|\mu|$$ $$f\in\mathcal{L}(\nu):=\mathcal{L}(|\nu|):\quad\int f\mathrm{d}\nu:=\int fv\mathrm{d}|\mu|$$

Esto permite una comprobación rápida sin palabras: $$|\nu|\ll|\mu|\implies|\nu|=\int h\mathrm{d}|\mu|\implies\nu=\int \frac{v}{u}h\mathrm{d}\mu$$ $$\nu=\int J\mathrm{d}\mu\implies|\nu|=\int\frac{u}{v}J\mathrm{d}|\mu|\implies|\nu|\ll|\mu|$$

El resto se desprende de los resultados de las medidas positivas.