¿Qué estoy haciendo REALMENTE cuando tomo la transformada de Fourier del operador de momento

Question

Estaba jugando con algunas ecuaciones y encontré una relación sorprendente cuando tomé la transformada de Fourier del operador de momento

Defina $\hat P = \frac{\hbar}{i} \partial_x$ entonces $F(\hat P) = k\hbar$

Es raro, estoy aplicando un operador sobre otro operador para obtener un número que resulta ser la expresión de de Broglie para el momento

Hagamos lo mismo con la Energía, entonces $F(E) = F(i\hbar\partial_t) = w\hbar$

Doblemente extraña, expresión de de Broglie para la energía.

Así que tengo dos preguntas en mente:

1. Son $k\hbar$ y $w\hbar$ ¿los propios operadores?
2. La definición de un operador es un mapa que mapea un espacio vectorial a otro, así que ¿qué estoy haciendo realmente en este caso? ¿Qué espacio vectorial está siendo mapeado a dónde?

Answer 1

( $\hbar$ omitido en lo que sigue).

Eso no es raro, es una de las propiedades cruciales de la transformada de Fourier $F(\bar{})$ que

$$ F(\partial_x f) = \mathrm{i}p F(f)$$

es decir, la diferenciación por una variable se convierte en multiplicación con la variable conjugada de Fourier y viceversa. Por ello, la transformación de Fourier es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales.

Para tu pregunta como tal, no se aplica la transformada de Fourier a operadores como los que has escrito ahí. La transformada de Fourier se aplica a funciones de posición $f(x)$ y las convierte en funciones del momento $F(f)(p)$ pero se puede ver fácilmente que

$$ F(\hat{P}\psi(x))(p) = pF(\psi)(p)$$

por lo que, en cierto sentido, el operador de momento se convierte simplemente en una multiplicación por el momento. Esto no es sorprendente, ya que la base del momento es exactamente la base en la que el operador del momento es diagonal. Y la multiplicación por una variable es algo perfectamente correcto para un operador - no hay nada sospechoso en el operador $\hat{P} = p \cdot$ .