Sobre distribuciones sobre conjuntos ortonormales: familias existentes, construcción y simulación

Question

1. ¿Se han definido y estudiado en la literatura familias de distribuciones sobre conjuntos ortonormales? ¿Cuáles son un par de ejemplos y/o referencias?
2. ¿Existen métodos conocidos para construir distribuciones sobre conjuntos ortonormales, por ejemplo, parametrizando las distribuciones de cada coordenada de cada vector?
3. Como continuación a la pregunta (2) anterior, ¿cómo se pueden simular conjuntos ortonormales, por ejemplo, parametrizando alguna distribución sobre cada coordenada y vector?

Consideremos un conjunto ortonormal de dimensión $n$ . Para la pregunta (3), imagino que se podría definir un procedimiento que comience simulando un vector unitario a partir de una distribución de dimensión $n-1$ y simular iterativamente a partir de los restantes $n-2$ vectores de base ortonormal. Sin embargo, más allá del primer vector unitario, ¿cómo se podría imponer la restricción de ortogonalidad mutua?

Answer 1

(Actualizaré la información a medida que la vaya obteniendo).

1. Sí. A Medida de Haar es esencialmente una distribución uniforme sobre el conjunto de todas las matrices ortogonales. Las matrices ortogonales de dimensión $n$ también se conocen como grupos ortogonales denotado $\mathrm{O}(n)$ .

2. y 3. Sí. Por ejemplo, se podría utilizar el Proceso Gram-Schmidt (SPG) que ortogonaliza un conjunto de vectores de forma iterativa. Se trata de un procedimiento determinista, pero se puede inyectar aleatoriedad inicializando un conjunto de vectores aleatorios y aplicando el SPG a estos vectores. La matriz resultante corresponderá a la matriz Q en Descomposición QR . El artículo de Wikipedia sobre ortogonalización enumera otros métodos que puede aprovecharse de la misma manera que en el caso anterior. Para el muestreo de la distribución de Haar, véase Cómo generar matrices aleatorias a partir de los grupos compactos clásicos (utilizado en SciPy's ortogrupo función).

Referencias pertinentes:

1. Informe técnico: El algoritmo de subgrupos para generar variables aleatorias uniformes
2. MathSE: Generación "aleatoria" de matrices de rotación
3. MathSE: ¿Qué significa realmente "matriz de rotación aleatoria"? ¿Cómo generarla?