Así que estoy aprendiendo Fourier Series e implica integración. No se me da muy bien la integración.
Ahora, el recurso que utilizo es vídeos del Dr. Chris Tisdell . En el vídeo de apertura dice que saber si la función como par o impar simplificará en gran medida el proceso de integración.
Así que tengo dos preguntas:
1. ¿Qué es la función par/impar?
2. ¿Cómo va a simplificar eso la integración?
Even e impar son términos que se utilizan para describir funciones que se comportan especialmente bien.
En incluso es simétrica respecto al $y$ -eje. Es decir, si reflejamos la gráfica de la función en el $y$ -eje, entonces no cambia. Formalmente, decimos que $\,f$ es par si, para todo $x$ y $-x$ en el ámbito de $\,f$ tenemos $$f(-x)=f(x)$$ Ejemplos de funciones pares son $\,f(x)=x^2$ y $\,f(x)=\cos x$ .
En impar tiene una simetría rotacional de orden dos respecto al origen. Es decir, si giramos la gráfica de la función $180^\circ$ sobre el origen, entonces no cambia. Formalmente, decimos que $\,f$ es impar si, para todo $x$ y $-x$ en el ámbito de $\,f$ tenemos $$f(-x)=-f(x)$$ Ejemplos de funciones impar $\,f(x)=x^3$ y $\,f(x)=\sin x$ .
Al calcular series de Fourier, a menudo se consideran integrales de la forma $$I=\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x$$ Si $\,f$ es impar o par, entonces a veces se puede hacer esto más simple. Podemos reescribir esa integral de la siguiente manera: \begin{align*} I=\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x &= \int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^a f(-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \end{align*} Para una función par, tenemos $f(-x)=f(x)$ de donde $$I = 2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$$ Para una función impar, tenemos $f(-x)=-f(x)$ de donde $$I = \int_0^a (-f(x)+f(x))\,\mathrm{d}x = 0$$ Eso es lo que significa simplificar la integración: la integral de una función impar o par sobre el intervalo $[-a,a]$ se puede poner en una forma más agradable (y a veces podemos ver que desaparece sin calcular nunca una integral).
Una función par es la que satisface las siguientes condiciones 1) para cualquier $x$ del dominio de $f$ el punto $-x$ también está en el dominio de $f$ 2) $f(-x) = f(x)$ para cualquier $x$ del dominio de $f$ .
Una función impar es aquella que cumple las condiciones 1) para cualquier $x$ del dominio de $f$ el punto $-x$ también está en el dominio de $f$ 2) $f(-x) = -f(x)$ para cualquier $x$ del dominio de $f$ .
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje Y, y la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen (0,0). Espero que te sirva de ayuda...
El "qué es" ya ha sido contestado por Alex White.
La parte de "cómo ayuda en la integración" es fácil: Si tu intervalo de integración es simétrico alrededor de $0$ (que incluye especialmente la integración en todo el $\mathbb R$ ), entonces la integral sobre cualquier función impar integrable es cero, sin excepción. Por lo tanto, tan pronto como hayas encontrado que tu integrando es impar y tu intervalo de integración es simétrico, has terminado. Además, para funciones generales, si puedes dividirlas fácilmente en partes pares e Impares, sólo tienes que considerar la integral sobre la parte par para intervalos de integración simétricos.
Otra propiedad importante es que el producto de dos funciones pares o de dos funciones Impares es par, y el producto de una función par y una impar es impar. Por ejemplo, si $f$ es par, $x\mapsto f(x)\sin(x)$ es impar, y por tanto la integral sobre ella es cero (siempre que esté bien definida).
Una función par $f(x)$ satisface $f(-x)=f(x)$ para todos $x$ en el dominio. Una función impar satisface $f(-x) = -f(x)$ .
También se puede pensar en estas propiedades como condiciones de simetría en el origen. Éstas implican ciertas cosas sobre la serie de Fourier de la función. En particular, la serie de Fourier de una función par periódica sólo contiene cosenos, y la serie de Fourier de una función impar periódica sólo contiene senos.
Véase Wikipedia para más información.
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