Sobre soluciones enteras de $3(u-v)(u+v)(3u+v) = (1+2u)(1-2u+4u^2)$

Question

Cómo resolver la ecuación diofantina $3(u-v)(u+v)(3u+v) = (1+2u)(1-2u+4u^2)$ sobre números enteros?

PS. Lo vi aquí en AoPS, pero no he podido resolverlo y nadie me ha contestado allí.

Answer 1

Su ecuación equivale a ${u}^{3}+3\,{u}^{2}v-9\,{v}^{2}u-3\,{v}^{3}-1=0$ que es biracionalmente equivalente a la curva elíptica ${y}^{2}+y={x}^{3}+20$ que es de rango 1 sobre los racionales. El punto obvio (u,v) = (1,0) corresponde a la identidad del grupo, pero el punto (u,v) = (-2,-1) corresponde al punto (x,y) = (9/4, 41/8) que tiene orden infinito. El grupo de torsión es de orden 3.

Esto no dice nada sobre los puntos enteros, pero puede ser útil. Por ejemplo, puedes generar puntos a voluntad en la curva elíptica y trasladarlos a tu curva para ver si son integrales. Tengo la firme sospecha de que sólo existen los dos puntos integrales mencionados anteriormente.

Answer 2

He aquí un comienzo:

Simplificando ambos lados, obtenemos $u^2 (u+3v)=1+9uv^2+3v^3$ . Escribiendo el lado derecho como factor de $(u+3v)$ , $u^2(u+3v)=1+9v^2(u+3v)-24v^3$ . Esto da como resultado:

$$(u+3v)^2(u-3v)=(1-24v^3)$$

y luego hacer las sustituciones $a=u+3v$ , $b=u-3v$ para obtener $(a-b)^3=9(1-a^2b)$ .

Esto significa que $(1-a^2b)=3k^3$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Multiplicar $a-b=3k$ por $-a^2$ y utilizando la ecuación anterior, obtenemos: $$3(k-a)k(k+a)=(1-a^3)$$