Transformación de gráficos en $T^*_x M$

Question

Estoy confundido acerca de una declaración en mi script de geometría diferencial. Dice: $(U,\varphi = (x_1,...,x_n))$ y $(U,\psi = (y_1,...,y_n))$ son cartas de una variedad lisa, entonces $$(dy_i)_x=\sum^n_{\alpha=1}\frac{\partial(\psi \circ \varphi^{-1})_i}{\partial x_\alpha}(x_1,...,x_n)(dx_\alpha)_x$$ se mantiene para la base en caso de cambio de cartas.

Traté de recrear la fórmula con nuestras definiciones, pero estoy confundido acerca de la (x_1,...,x_n) en la fórmula, ¿cómo estos llegar allí y lo que indica? Mi intento fue: \begin{align*} d(y_i)_x & =d(x_i\circ \psi^{-1} \circ \psi)_x\\ &= d(x_i\circ \psi^{-1})_{\psi (x)}\circ(\sum^n_{\alpha=1}d(y_\alpha)_x\cdot e_\alpha)\\ & =\sum^n_{\alpha=1} \frac{\partial(x_i\circ \psi^{-1})}{\partial y_\alpha} (\psi(x))dy_\alpha\\ & =\sum^n_{\alpha=1} \frac{\partial(\varphi\circ \psi^{-1})_i}{\partial y_\alpha} (\psi(x))dy_\alpha &(?)\\ \end{align*} Pero no hay $(x_1,...,x_n)$ y no tengo ni idea de cómo podría conseguirlo.

Answer 1

¡Es sólo la regla de la cadena! Llame a $f = \psi \circ \varphi^{-1}$ . Si $\varphi: U \to \tilde{U}$ y $\psi : U \to \tilde{V}$ entonces $f : \tilde{U} \to \tilde{V}$ y

$$ {\rm d}y_i = \sum_j \frac{\partial f(x_1,\cdots, x_n)}{\partial x_j}{\rm d}x_j $$

donde $x \in \tilde{U}$ , $y \in \tilde{V}$ y $y = f(x)$

En este diagrama se ve que $f = \psi \circ \varphi^{-1}$ se conecta directamente $\tilde{U}$ y $\tilde{V}$ sin pasar por el colector

Answer 2

El libro dice que $$(dy_i)_p=\sum^n_{\alpha=1}\frac{\partial(\psi \circ \varphi^{-1})_i}{\partial x_\alpha}(\varphi(p))(dx_\alpha)_p.$$

[Para evitar confusiones, utilizo la letra $p$ para denotar el punto de la variedad $M$ . Así que $\varphi(p) \in \mathbb R^n$ es la representación de $p$ en $\{ x_\alpha\}$ coordenadas, mientras que $\psi(p) \in \mathbb R^n$ es la representación de $p$ en $\{ y_i \}$ coordenadas, y $\psi \circ \varphi^{-1} : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es el mapa de transición de $\{ x_\alpha \}$ coordenadas a $\{ y_i \}$ coordenadas].

Quizá la mejor manera de demostrar esta ecuación sea dejar que $(dy_i)_p$ actúan sobre la base de unos vectores tangentes $\{ \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\vert_p\} $ en $p$ . En concreto, queremos demostrar que

$$ (dy_i)_p \left( \frac{\partial }{\partial x_\alpha}\vert_p\right) = \frac{\partial(\psi \circ \varphi^{-1})_i}{\partial x_\alpha}(\varphi(p)) \ \ \ (\star)$$ Esto se deduce inmediatamente de las definiciones: para cualquier función $f : M \to \mathbb R$ la definición de $df$ dice \begin{align} (df)_p \left( \frac{\partial }{\partial x_\alpha}\vert_p\right) &= \frac{\partial \left( f \circ \varphi^{-1}\right) }{\partial x_\alpha} (\varphi(p)).\end{align}

Aplicando esto con $y_i$ que es el $i$ ª componente de $\psi$ obtenemos $(\star)$ según sea necesario.