Evalúe $\int_0^1 \frac 1 {\lfloor 1-\log_2(x) \rfloor}\,\mathrm{d}x$

Question

Evalúe $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\lfloor 1-\log_2(x) \rfloor}\,\mathrm{d}x$$ donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función de mayor número entero (GIF)

Aprendí que la solución es probablemente $\displaystyle\sum_{r=1}^\infty \frac 1 {r \cdot 2^r}.$

Pero, ¿cómo ocurre eso?

Answer 1

Sea $$f(x)=\frac {1}{\lfloor 1-\log_2 x\rfloor}$$

Para $x\in \left(1/2,1\right)$ , $f(x)=1$

Para $x\in \left(1/4,1/2\right)$ , $f(x)=1/2$

Para $x\in \left(1/8,1/4\right)$ , $f(x)=1/3$

Así que la integral resulta ser $$\frac 11\cdot\frac 12+\frac 12\cdot\frac 14+\frac 13\cdot\frac 18\cdots= \frac {1}{1\cdot 2^1}+\frac {1}{2\cdot 2^2}+\frac {1}{3\cdot 2^3}\cdots = \sum_{r=1}^{\infty} \frac {1}{r\cdot 2^r}$$

Si sigue calculando, se dará cuenta de que la respuesta es simplemente $\ln 2$