Medida de Hausdorff

Question

Dada la Medida de Hausdorff

¿Es cierto que $H^1$ (línea)= ¿Longitud de la línea?

¿Cómo se puede demostrar?

Answer 1

En $\mathbb{R}^n$ y, en particular, en $\mathbb{R}$ El $n-$ medida Hausdorff dimensional es igual a la $n-$ medida de Lebesgue dimensional. Esto no es completamente trivial para $n$ no demasiado difícil para $n=1$ . Una fuente para ello es L.C.Evans, R.F.Gariepy, 'Measure theory and fine properties of functions'. La igualdad de las medidas es el teorema 2 del capítulo 2.3. La prueba para $n= 1$ está en la sección 2.1, Teorema 2 (o, por supuesto, en la monografía de Federer :-))

Edición: otra fuente es William P. Ziemer, 'Weakly differentiable functions', Theorem 1.4.2.

otra edición la página de wikipedia que has utilizado como referencia utiliza una definición de medida de Hausdorff que difiere en un factor dependiente de la dimensión de la que aparece en las fuentes que he citado. En consecuencia, la medida de Hausdorff, utilizando esa definición, es un factor multiplicado por la medida de Lebesgue. Esto también se afirma en esa página, y el factor se indica explícitamente.

Answer 2

Aquí explico la prueba de Evans y Gariep. En dimensión 1 la desigualdad isodiamétrica es mucho más fácil de demostrar que en dimensiones mayores.

https://www.youtube.com/watch?v=n4TMCzR0biM