¿Cuál es el límite de $\lim_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+3^n+\dots+n^n}{n^{n+1}}$?

Question

Quiero determinar el límite siguiente: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+3^n+\ldots+n^n}{n^{n+1}}$$ He tratado de resolver ella varias veces ,pero sin resultados.He intentado usar el lema stolz cezaro y logrado encontrar una fórmula general para la suma, pero no podía demostrarlo $$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$$ Edit: Gracias por sus respuestas,pero quiero preguntar si es posible resolver el problema, por no utilizar las integrales :D. NOTAIm en el undécimo grado, y nunca se había dado este problema por mi tutor de matemáticas ,por lo que, como consecuencia de ello, no sé cómo interpretar la gran mayoría de sus respuestas.Gracias por su tiempo ,caballeros!

Answer 1

Sólo tiene que explotar la identidad (probado aquí): $$\sum_{k=0}^{K}\binom{n+k}{n}=\binom{n+K+1}{n+1}$ $ y el límite trivial: $$ m!\binom{n}{m} \leq n^m \leq m!\binom{n+m}{m}$ $ que: $$ \forall m\in\mathbb{N},\quad \lim_{n\to +\infty}\frac{1^m+2^m+\ldots+n^m}{n^{m+1}}=\frac{1}{m+1}$ $ del cual sigue que su límite es cero.

Como un enfoque alternativo, desde $[0,1]$ tenemos $1-x\leq e^{-x}$:

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n \leq \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}e^{-k}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-k}=\frac{e}{n(e-1)}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\sum_{j=1}^n j^n \le \int_{1}^{n+1} x^n$. (Y recordar que $((n+1)/n)^{n}$ tiene un límite finito).

Answer 3

Aquí es otro punto de vista. Cada $n\in\mathbb N$ elegir un entero $k(n)\in\{0,1,\ldots,n\}$ tal que se cumplan las siguientes dos propiedades: $$\lim_{n\to\infty}\frac{k(n)}{n}=1\qquad\text{and}\qquad\lim_{n\to\infty}\left(\frac{k(n)}{n}\right)^n=0.\tag{$\ast$}$$ Some possible choices are: $$k(n)=\lfloor n-\log{n}\rfloor\qquad\text{or}\qquad k(n)=\lfloor n-\sqrt n\rfloor\qquad\text{or}\qquad k(n)=\lfloor n^{\frac{n}{n+1}}\rfloor,$$ where $\lfloor x\rfloor$ is the largest integer not exceeding $x$, i.e. the floor function. (That $ (\ast) $ holds follows e.g. from $\lim_ {n\to\infty} ^n=e$ in the first two cases and from $\lim_ {n\to\infty} n de (1 + \frac1n) ^ {\frac1n} = 1$ en el tercer caso.)

Dada tal % de la secuencia $k(n)$, tenemos los siguientes límites: $$\begin{align}0&\leq\frac{1^n+2^n+\ldots+k(n)^n+(k(n)+1)^n+\ldots+n^n}{n^{n+1}}\\&\leq\frac{k(n)k(n)^n+(n-k(n))n^n}{n^{n+1}}\\&=\left(\frac{k(n)}{n}\right)^{n+1}+1-\frac{k(n)}{n}.\end{align}$$ This last sequence converges to zero by $ (*) $, so our sequence is bounded between two sequences converging to zero. We may conclude that $% $ $\lim_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+3^n+\ldots+n^n}{n^{n+1}}=0.$