Álgebra lineal (matrices con potencias)

Question

Sea $$ M \colon= \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] $$

Encuentre fórmulas para las entradas de $M^n$ donde $n$ es un número entero positivo.

$$ M^n = \text{?} $$

Answer 1

Creo que la diagonilización simple tiene sentido aquí para $M$ tiene dos valores propios diferentes, $\{3,4\}$ . Los dos vectores propios correspondientes son $[1,-1]^\top$ y $[1,-2]^\top$ . Configuración \begin{align} P=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} se puede expresar $M$ como $M= P\Delta P^{-1}$ donde $\Delta=\operatorname{diag}(3,4)$ es decir \begin{align} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 4 \fin{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

Así \begin{align} M^n = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^n & 0\\ 0 & 4^n \fin{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3^n - 4^n & 3^n - 4^n\\ 2(4^n-3^n) & -3^n - 2\cdot4^n \end{pmatrix} \end{align}

Esto es, por supuesto, lo mismo que se mencionó en uno de los comentarios anteriores (egorovik)

Answer 2

Busca los valores y vectores propios:

$$\det(M-\lambda I)=0$$

Entonces los vectores propios:

$$M\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$$

Ponga los vectores propios como columnas en un $2\times 2$ matriz $P$ y calcular $P^{\textrm{T}}MP$ . Tenga en cuenta que $P^{\textrm{T}}P=PP^{\textrm{T}}=I$