¿Había algo intrínsecamente incoherente en el universo de Newton?

Question

No soy físico, sólo un curioso.

Sabemos por observación que la formulación de la física de Newton es incompleta. Podríamos suponer que, en un planeta de niebla perpetua, a nadie se le habría ocurrido cuestionarla. Antes de descubrir el vuelo, no habríamos tenido mucho en materia de cosmología que nos indicara la dirección correcta.

Pregunta

Sin experimentación física, ¿existen incoherencias en las leyes de Newton que indiquen que son incorrectas? Estoy pensando en cálculos que requieran dividir por cero o similares.

Por ejemplo, ¿podríamos haber descubierto, digamos, la relatividad, puramente a partir de matemáticas ¿incongruencias en la formulación newtoniana?

Answer 1

No. La física newtoniana es consistente por sí misma.

Las partículas puntuales plantean dificultades conceptuales no triviales. Pero se pueden tomar esas dificultades como una indicación de la imposibilidad lógica de las partículas puntuales clásicas.

También hay algunos casos extremos interesantes en los que el determinismo o la simetría temporal inversa parecen estar en conflicto (la cúpula de Norton). Pero la pura lógica no exige que el universo newtoniano deba ser a la vez determinista y reversible en el tiempo en todos los casos.

Answer 2

Es un poco difícil decir si hay incoherencias o no. Depende de lo que consideres que es el Universo de Newton.

Por ejemplo, Newton inventó el cálculo para facilitar los cálculos. El cálculo implica infinitesimales. El infinito está lleno de dificultades lógicas que son difíciles de poner sobre una base matemáticamente consistente. No se hizo hasta alrededor de 1900. Así que tal vez usted podría encontrar inconsistencias en las matemáticas como lo hizo Newton. Pero es posible hacer bien esas matemáticas.

Las leyes de Newton no predicen el mundo tal como es. Es una aproximación. También lo son las mejores teorías que tenemos hoy en día. Así que entiendo que cuando la mecánica newtoniana predice que los átomos no son estables, no es a eso a lo que te refieres. Pero repito, Newton no predijo nada sobre los átomos. Las leyes del electromagnetismo vinieron después.

Así que las leyes newtonianas son incompletas. No hablan de E&M, fuerzas fuertes y débiles. Puedes añadirlas. Si lo haces ingenuamente, obtienes leyes que no describen el universo. Si arreglas las leyes, te alejas de la mecánica newtoniana.

Newton habló de partículas puntuales, fuerzas y aceleraciones, y gravedad. También de óptica y otros temas. Si pones en marcha el universo, la mecánica predecirá su futuro para siempre.

Así que se puede hablar de objetos que orbitan entre sí. Pero hay que inventar qué son esos objetos. No se puede inventar algo realista sin la relatividad, la mecánica cuántica y futuras teorías que aún no hemos elaborado.

Así que inventa algo irreal. Que puede tener inconsistencias, pero eso no es culpa de Newton. Por ejemplo, en las clases de física de los institutos se utilizan a menudo poleas sin masa y sin fricción. ¿Cuál es la aceleración de dicha polea dada una fuerza de $0$ ? Obtienes $a = F/m = 0/0$ .

Puedes inventarte átomos clásicos en los que los electrones entran en espiral en el núcleo. Eso tampoco es real. Si hay incoherencias lógicas con ello, son culpa tuya por inventarlo. Así que las partículas puntuales infinitamente densas no son problema de Newton.

Los gradientes de los campos son incoherentes en $r = 0$ para dichas partículas. Los campos fueron inventados por Faraday, pero se podría considerar que arreglar las matemáticas inherentes a Newton. Algo así como arreglar cualquier problema con el infinito. O podrías considerarlo un problema inherente a algo que la mecánica newtoniana puede describir.

Algunas de las matemáticas que mejoraron a Newton procedían de Leibniz. También inventó el cálculo, y no en términos de las fluxiones de Newton y demás. Otros inventores fueron LaGrange y Hamilton. Estos reordenaron las leyes de Newton en otras formas útiles.

Se perfeccionaron las matemáticas de la mecánica orbital. Cuando se descubrió Ceres, sólo se realizaron 3 observaciones antes de que desapareciera detrás del Sol. Saldría en unos meses, pero nadie sabía exactamente cuándo ni dónde. Estaba perdido. Gauss se tomó esos pocos meses para resolver la ecuación. Por el camino, inventó el análisis de errores y la distribución de Gauss. Ceres fue encontrado dentro de un grado de donde él predijo.

Todo esto iba más allá de lo que hizo Newton y era consecuencia de ello. No hemos encontrado ninguna inconsistencia lógica que se introdujo.

Un último punto. A finales del siglo XIX, la física era un problema resuelto, salvo algunos cabos sueltos. La relatividad y la mecánica cuántica llegaron por sorpresa y dieron al traste con todo ello. Del mismo modo, Russel y Whitehead habían puesto todas las matemáticas sobre una base sólida y consistente. El Teorema de la Incompletitud de Godel surgió de la nada y demostró que las matemáticas o son incoherentes (poco probable) o están incompletas (mucho más probable). Puede que en el futuro encontremos una incoherencia lógica en la mecánica newtoniana. Al igual que la corrección de las teorías físicas, la consistencia no puede demostrarse. Sólo se puede refutar.

Answer 3

Navier-Stokes

Demostrar que existe una solución suave y globalmente definida de la ecuación de Navier-Stokes para entradas arbitrarias es una tarea sin resolver del Clay Mathematics Institute. Problema del Milenio . Esto es probablemente exagerar un poco, pero identifico la cuestión fundamental como el hecho de que el "Universo de Newton" no tiene límites duros. Hasta donde yo sé, se permiten la distancia, la masa, la energía, la velocidad y la densidad infinitas. Si quieres llegar rápido a Alfa Centauri, súbete a un "cohete newtoniano" a 1g, y llegarás en 2,78 años, mucho antes que un rayo de luz que envíes al mismo tiempo. Oh, claro, la luz te dejará en el polvo en la línea de salida, pero despacio y con constancia se gana la carrera, ¿no? En esta carrera, ganarás al rayo de luz por 1,2 años, porque has pasado $c$ bien por el camino...

Ahora, usted excluyó la astronomía o el experimento, así que sólo nos queda la pregunta: "¿Por qué alguien se preocupa por la suavidad de Navier-Stokes?" Una solución no suave es aquella que diverge, o "explota". Podría intentar afirmar que un vórtice turbulento contiene una velocidad angular infinita o alguna otra afirmación "obviamente" no física. Pero, ¿es tal afirmación realmente "no física" en un "universo newtoniano"? Yo digo que no. Los físicos y matemáticos que trabajan en un universo puramente newtoniano ni siquiera se plantean este Problema del Milenio, porque no es más problema que un cohete que llega a Alfa Centauri antes que un rayo de luz.

O, por el contrario, los físicos newtonianos podrían considerar esta cuestión y decir: "Quizá sea un problema que la teoría permita aquí valores infinitos. Un sistema de fluidos con entradas de energía finitas no debería obtener densidades de energía infinitas, ni siquiera en regiones muy pequeñas." Nótese que el propio Navier-Stokes es una aplicación muy directa de las leyes de Newton a partículas fluidas, y en ese sentido, bastante apropiada, creo yo.

Answer 4

En realidad, Newton nunca dio una descripción completa de un universo newtoniano, ya que su trabajo sobre la óptica nunca se plasmó en una forma matemática clara. (Interpretó erróneamente la Anillos de Newton experimento como refutación de la teoría ondulatoria de la luz, pero su explicación de las partículas no estaba completamente desarrollada).

En cuanto a la parte mecánica del universo, Newton tiene un problema de estabilidad, del que nunca se dio cuenta claramente.

A escala cosmológica, ideó una forma de evitar el colapso gravitatorio suponiendo una simetría perfecta, pero este equilibrio era inestable.

Era un atomista acérrimo, por lo que pensaba que las rocas y las casas estaban hechas de partículas que interactuaban mediante una acción instantánea a distancia. Resultados como Teorema de Earnshaw tienden a hacer que este tipo de cosas sean inestables. Podríamos intentar entrar en más detalles sobre si hay modelos newtonianos que puedan producir materia estable, pero entonces volvemos a entrar en el problema de que newton nunca desarrolló realmente sus teorías hasta ese grado de completitud y sofisticación. Por ejemplo, ¿cuáles son los mecanismos de disipación que permitirían que las cosas se estabilizaran en equilibrio? Esto fue siglos antes de que se comprendiera la termodinámica. Para evitar el colapso, se podría imaginar, por ejemplo, que las partículas tuvieran un tamaño finito, en lugar de ser puntiformes como tendemos a imaginarlas hoy en día. O, algo equivalente, se podría hacer que su interacción tuviera un núcleo duro repulsivo. Esto plantea la cuestión de si, por ejemplo, un sistema de bolas de billar infinitamente duras en interacción tiene ecuaciones de movimiento que dan soluciones únicas y existentes. Si se le hubieran planteado preguntas de este tipo a Newton, probablemente habría respondido en términos de sus experimentos con la alquimia (que era su pasión, más que la física).

Puedes preocuparte de cosas como Cúpula de Norton pero la falta de estabilidad de la materia significa que no se puede construir una cúpula en primer lugar, no se puede construir ninguna materia sólida y estable.

Answer 5

Se ha demostrado que la física newtoniana no es computable. También se ha demostrado que esta imposibilidad de cálculo en un universo newtoniano puede aprovecharse para construir un hiperordenador capaz de realizar un número contablemente infinito de cálculos utilizando una cantidad contablemente infinita de memoria en un tiempo finito. Un dispositivo así funciona duplicando su velocidad de cálculo y duplicando su memoria de trabajo escribiendo información a escalas cada vez más pequeñas en cada ciclo de reloj.

Esto significa que los matemáticos que viven en un universo así pueden encontrar la respuesta a muchos problemas matemáticos que para nosotros pueden ser irresolubles. Por ejemplo, pueden establecer si la hipótesis de Riemann es cierta o no dejando que el hiperordenador compruebe si todo el número contablemente infinito de ceros no triviales se encuentra en la línea crítica.

Supongamos que encuentran la respuesta esperada de que es cierto. Entonces pueden utilizar el hiperordenador para encontrar la prueba si existe, generando todos los enunciados matemáticos uno a uno y utilizando el algoritmo de comprobación de pruebas de Hilbert para ver si se trata de una prueba válida de la hipótesis de Riemann. Si existe una prueba, el hiperordenador la encontrará. Por tanto, si la hipótesis de Riemann es indemostrable, lo descubrirán.