Halla el valor mínimo de esta expresión con valores absolutos

Question

La expresión es

$$|x-3| + |x-1| + |x| + |x+2| + |x+4|$$

Sé que el valor mínimo de esta expresión es cuando x = 0, pero ¿hay alguna forma algebraica de averiguarlo? Lo he hecho con la calculadora

Answer 1

Sea $f$ la función definida por la ecuación $f(x)=|x-3|+|x-1|+|x|+|x+2|+|x+4|$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . $$x<-4\Longrightarrow f(x)=-(x-3)-(x-1)-x-(x+2)-(x+4)=-5x-2>18$$ $$-4\le x <-2 \Longrightarrow f(x)=-(x-3)-(x-1)-x-(x+2)+(x+4) = -3x+6>12$$ $$-2\le x <0 \Longrightarrow f(x)=-(x-3)-(x-1)-x+(x+2)+(x+4) = -x+10>10$$ $$0\le x < 1 \Longrightarrow f(x)=-(x-3)-(x-1)+x+(x+2)+(x+4) = x+10\ge 10$$ $$1\le x < 3 \Longrightarrow f(x)=-(x-3)+(x-1)+x+(x+2)+(x+4) = 3x+8\ge 11$$ $$x\ge 3 \Longrightarrow f(x)=(x-3)+(x-1)+x+(x+2)+(x+4) = 5x+2\ge 17$$ Así pues $f(x)\ge 10=f(0)$ para todos $x\in \mathbb{R}$ .

Answer 2

Una forma estadística de resolver el problema:

Sabemos que la desviación media absoluta es mínima respecto a la mediana.

Por lo tanto, considere la mediana de $\{3,1,0,-2,-4\}$

De aquí se concluye que $x=0$ es mínimo.

Answer 3

Primero hay que considerar los extremos. Si $x$ se vuelve muy positivo o negativo, se nkow la expresión se vuelve muy grande como el valor absoluto quita el signo negativo. Ahora, evalúa la expresión en cada uno de tus valores críticos, en este caso $3,1,0,-2,-4$ . A continuación, elige el mínimo de estos valores.

Answer 4

Aplicando las propiedades del módulo, encontramos fácilmente $$|x-3| + |x-1| + |x| + |x+2| + |x+4|=|3-x| + |1-x| + |x+2| + |x+4|+ |x| \geq |3-x+1-x+x+2+x+4|+ |x| =10+ |x| \geq 10. $$ Parece que este mínimo se alcanza para $x = 0.$