Evaluación integral mediante expansión en serie

Question

Intento resolver la integral ( véase también )

$$I(\gamma,b,\beta)=\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2+b^2}}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+\gamma^2\,\frac{\beta^2}{b^2+\beta^2}} \, e^{- \sqrt{\beta^2+b^2} \, \sqrt{x^2+\gamma^2}} \, \mathrm{d}x$$

Me preguntaba si tiene algún sentido utilizar la serie de potencias de

$$e^{- \sqrt{\beta^2+b^2} \, \sqrt{x^2+\gamma^2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(- \sqrt{\beta^2+b^2} \, \sqrt{x^2+\gamma^2})^n}{n!}$$

y la integral indefinida (de Mathematica)

$$I_1(x,\gamma,b,\beta,n)=\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2+b^2}}\int \frac{(- \sqrt{\beta^2+b^2} \, \sqrt{x^2+\gamma^2})^n}{\left(x^2+\gamma^2\,\frac{\beta^2}{b^2+\beta^2}\right)n!}\, \mathrm{d}x=\frac{(-1)^n}{\beta\,\gamma^2\,n!}\,x\,(\beta^2+b^2)^{\frac{1+n}{2}}\,\left(1+\frac{x^2}{\gamma^2}\right)^{-n/2}\,(x^2+\gamma^2)^{\frac{n}{2}}\,\mathrm{F}_1\left(\tfrac{1}{2};-\tfrac{n}{2},1,\tfrac{3}{2};-\tfrac{x^2}{\gamma^2},-\tfrac{x^2\,(b^2+\beta^2)}{\beta^2\,\gamma^2}\right)$$

con $\mathrm{F}_1$ el Appell Función hipergemétrica .

Desde $$\lim_{x\to0} I_1(x,\gamma,b,\beta,n)=0$$ Supongo que $$I(\gamma,b,\beta)= \lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\beta\,\gamma^2\,n!}\,x\,(\beta^2+b^2)^{\frac{1+n}{2}}\,\left(1+\frac{x^2}{\gamma^2}\right)^{-n/2}\,(x^2+\gamma^2)^{\frac{n}{2}}\,\mathrm{F}_1\left(\tfrac{1}{2};-\tfrac{n}{2},1,\tfrac{3}{2};-\tfrac{x^2}{\gamma^2},-\tfrac{x^2\,(b^2+\beta^2)}{\beta^2\,\gamma^2}\right)$$

Si esto es correcto, ¿hay alguna forma de obtener una solución de forma cerrada a partir de este planteamiento? Sé que hay una solución para $b=0$ . Gracias.

Edición: Creo que se puede simplificar a $$I(\gamma,b,\beta)= \lim_{x\to\infty}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\beta\,\gamma^{2-n}\,n!}\,x\,(\beta^2+b^2)^{\frac{1+n}{2}}\,\,\mathrm{F}_1\left(\tfrac{1}{2};-\tfrac{n}{2},1,\tfrac{3}{2};-\tfrac{x^2}{\gamma^2},-\tfrac{x^2\,(b^2+\beta^2)}{\beta^2\,\gamma^2}\right)$$

Answer 1

Primero, pongamos los parámetros en una forma más conveniente:

$$I=\frac{\beta}{p} \int_0^\infty \frac{e^{-p \sqrt{t^2+1}}}{t^2+q^2}dt$$

Dónde:

$$p=\gamma \sqrt{\beta^2+b^2}, \qquad q^2=\frac{\beta^2}{b^2+\beta^2} \leq 1$$

Consideremos ahora la nueva integral, y hagamos otra sustitución:

$$t=\sinh u$$

$$\int_0^\infty \frac{e^{-p \sqrt{t^2+1}}}{t^2+q^2}dt=\int_0^\infty \frac{e^{-p \cosh u}\cosh u}{\cosh^2 u-s^2}du=f(p,s)$$

Dónde:

$$s^2=1-q^2 \leq 1$$

Podemos expandir el denominador como una serie geométrica para todo el rango de la variable, obteniendo la serie de Taylor en $s$ :

$$f(p,s)= \sum_{k=0}^\infty s^{2k} \int_0^\infty \frac{e^{-p \cosh u}}{\cosh^{2k+1} u}du$$

En general, las integrales no tienen una forma cerrada (aunque todas convergen, por lo que pueden calcularse numéricamente). Sin embargo, podemos obtener una ecuación diferencial en $p$ .

Denotemos ahora $f(p,s)=g(p)$ dejando $s$ como parámetro general. Entonces:

$$g''(p)=\sum_{k=0}^\infty s^{2k} \int_0^\infty \frac{e^{-p \cosh u}}{\cosh^{2k-1} u}du= \\ =\int_0^\infty e^{-p \cosh u} \cosh u~du+s^2 \sum_{k=0}^\infty s^{2k} \int_0^\infty \frac{e^{-p \cosh u}}{\cosh^{2k+1} u}du$$

La primera integral tiene una forma cerrada en términos de una función de Bessel modificada. Finalmente obtenemos una EDO de segundo orden:

$$g''(p)-s^2 g(p)-K_1 (p)=0 \tag{1}$$

Las condiciones iniciales son un poco más complicadas. De la integral original tenemos:

$$g(0)=\frac{\pi}{2 \sqrt{1-s^2}}$$

Podemos utilizar $ g( \infty)=0$ como otra condición, sin embargo no es adecuada para la solución numérica de la EDO. En ese caso, podemos simplemente calcular numéricamente algún valor, como $g(1)$ o $g'(1)$ . La derivada en $0$ diverge.

La ecuación tiene una solución analítica, pero no en forma cerrada. La parte homogénea da obviamente una solución exponencial, pero la función de Bessel complica mucho la solución final.

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He aquí una solución numérica de la EDO (azul) comparada con la integración numérica (naranja). Ambas se realizan en Mathematica para $s=e^{-1}$ :

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Para $s=1$ Wolfram Alpha y Mathematica ofrecen una solución general de forma cerrada a la EDO en forma de función G de Meijer:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=g%27%27%5Bx%5D-g%5Bx%5D-BesselK%5B1,x%5D%3D0

$$g(p)=-\frac{1}{4 \sqrt{\pi }} \left( \pi e^{p} G_{2,3}^{3,0}\left(2 p\left| \begin{array}{c} 1,\frac{3}{2} \\ 0,0,2 \\ \end{array} \right.\right)+e^{-p}G_{2,3}^{3,1}\left(2 p\left| \begin{array}{c} \frac{3}{2},1 \\ 0,0,2 \\ \end{array} \right.\right)\right)+c_1 e^p+c_2 e^{-p}$$

$$s=1$$

Tenga en cuenta que para $s=1$ la integral original diverge.

Como tal, dudo que haya algo más sencillo, sobre todo para el público en general. $s$ .