Unidades de un anillo numérico dual.

Question

¿Cuáles son las unidades de $\mathbb C[\varepsilon]$ ?

$\mathbb C\setminus\{0\}$ serían las unidades de $\mathbb C$ , obtengo $3$ otras posibilidades :

a) $\{a+b\varepsilon\, :\, a,b \in\mathbb C,\ a\ne 0\}$

b) $\{1\}$

c) $\{b\varepsilon\, :\, b \in\mathbb \setminus\{0\}\ \}$

Me decantaría por (a) pero no estoy tan seguro.

Gracias, señor.

Answer 1

(c) no puede ser cierta porque $(b\varepsilon)\varepsilon=0$ y ninguna unidad puede ser divisor de cero.

(b) no puede ser cierta porque $2$ es una unidad.

Así que esto deja (a), como sospechabas.

En efecto, podemos resolver $ 1=(a+b\varepsilon)(x+y\varepsilon)=ax+(bx+ay)\varepsilon $ para obtener $x=1/a, y=-b/a^2$ siempre que $a\ne0$ .

O simplemente tenga en cuenta que $(a+b\varepsilon)(a-b\varepsilon)=a^2$ a partir de la cual se puede hallar la inversa dada anteriormente.