Ejemplo en el que una función inversa no es igual a los elementos

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de una función $f: A \to B$ y $X \subset A$ para que $f^{-1}(f(X)) \ne X$ y análogamente donde $Y \subset B$ para que $f(f^{-1}(Y)) \ne Y$ .

Pensaba tener $f = x^2$ que no tiene inversa, lo que hace que sea vacuamente cierto que $f^{-1}(f(X)) \ne X$ y $f(f^{-1}(Y)) \ne Y$ pero eso parece una excusa. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Considere $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido para todos $x \in \mathbb{R}$ por $f(x)=0$ y $X = \lbrace 0 \rbrace$ y $Y = \mathbb{R}$ .

Answer 2

Aquí $f^{-1}$ no denota función inversa de $f$ sino imagen inversa de un conjunto, que se define incluso cuando $f$ no es invertible. De hecho su búsqueda de un ejemplo invertible será en vano ya que para invertible $f,f(f^{-1}(Y))=Y$ y $f^{-1}(f(X))=X$ para todos $X\subseteq A,Y\subseteq B$ .

$y(x):\Bbb R\to\Bbb R,y=x^2$ es un ejemplo válido. Tome $X=\{1\}\implies f^{-1}(f(X))=f^{-1}(\{1\})=\{\pm1\}$ .

Toma $Y=\{0,-1\}$ . Entonces $f(f^{-1}(Y))=f(\{0\})=\{0\}$ .