Un juego con $\delta$ , $\epsilon$ y continuidad uniforme.

Question

ACTUALIZACIÓN : Recompensa concedida, pero sigue siendo turbio lo que f) es.

En Makarov Problemas seleccionados de análisis real hay un problema desafiante:

Describir el conjunto de funciones $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ con las siguientes propiedades ( $\epsilon, \delta,x_1,x_2 \in \mathbb R$ ) :

a) $\forall \epsilon \qquad\qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

b) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta \qquad \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

c) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, (x_1-x_2) < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

d) $\forall \epsilon >0 \qquad, \forall \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

e) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|>\epsilon$

f) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \epsilon \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\delta$

g) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |f(x_1)-f(x_2)| > \epsilon \Rightarrow |x_1-x_2|> \delta$

h) $\exists \epsilon >0 \qquad, \forall \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

i) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, x_1-x_2 < \delta \Rightarrow f(x_1)-f(x_2)<\epsilon$

Esto es lo que todo el mundo conseguido hasta ahora:

a) $\{ \}$

b) todas las funciones

c) funciones constantes

d) funciones constantes

e) $\{ \}$

f) funciones acotadas en cualquier intervalo cerrado (no estoy seguro)

g) funciones continuas uniformes

h) funciones acotadas

i) No decreciente y uniformemente continua.

Gracias por sus sugerencias.

Answer 1

Primero, tengo que dar una conferencia sobre los cuantificadores. Como sabéis, he sido muy puntilloso con los cuantificadores en los comentarios, pero sólo porque es extremadamente importante. Antes de abordar los ejercicios, he aquí tres ejemplos que demuestran su importancia:

• $\forall x_1\forall\epsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x_2\,\left(|x_1-x_2|<\delta\implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\right)$
• $\forall\epsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x_1\,\forall x_2\,\left(|x_1-x_2|<\delta\implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\right)$
• $\forall x_1\forall x_2\forall\epsilon>0\,\exists\delta>0\,\left(|x_1-x_2|<\delta\implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\right)$

Obsérvese que la única diferencia en los enunciados es la ubicación de las variables cuantificadas $x_1$ y $x_2$ Sin embargo, la primera significa "continua", la segunda significa "uniformemente continua" y la última la cumple toda función.

De hecho, si se interpreta que muchas de sus afirmaciones simplemente carecen de $\forall x_1\forall x_2$ delante, entonces muchos de los ejercicios se vuelven triviales: la respuesta es cada función. Estos ejercicios son b), c), f), g) e i). Esto se debe al condicional cuantificado existencialmente que aparece en cada uno de estos problemas. Los condicionales cuantificados existencialmente no representan nada significativo que normalmente diríamos en el habla, la lógica o las matemáticas, ya que suelen ser demasiado fáciles de hacer verdaderos. Los otros ejercicios que tienen este problema: a) y e) no se convierten automáticamente en verdaderos sólo porque podemos elegir $x_1=x_2$ .

Con estas preocupaciones en mente, tenemos que intentar determinar realmente qué quería decir Makarov cuando escribió este problema. Yo interpreté f) como

• $\forall x_1\forall\delta>0\,\exists\epsilon>0\,\forall x_2\,\left(|x_1-x_2|<\delta\implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\right)$

NOTA. He intercambiado el papel de $\delta$ y $\epsilon$ como $\delta$ se utiliza normalmente para representar el vecindario en el dominio, y de hecho me resultó difícil hacer el problema sin este cambio. La respuesta aquí es 'envía conjuntos acotados a conjuntos acotados'. Una vez que elegimos $x_1$ y un $\delta$ -vecindario alrededor $x_1$ la afirmación implica que existe un $\epsilon$ (no importa lo grande que sea) tal que $f$ envía todo en $(x_1-\delta, x_1+\delta)$ a $(f(x_1)-\epsilon, f(x_1)+\epsilon)$ .

EDITAR

Podemos interpretar f) en el sentido de

• $\forall\delta>0\,\exists\epsilon>0\,\forall x_1\forall x_2\,\left(|x_1-x_2|<\delta\implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\right)$

Lógicamente, esto es más fuerte (no inmediatamente estrictamente más fuerte) que lo que he considerado anteriormente. Significa que para cada $\delta$ hay un $\epsilon$ de forma que cada $\delta$ -se envía a un $\epsilon$ -Vecindario.

No tengo inmediatamente un nombre para tales funciones. Las funciones lineales cumplen esta condición. Las funciones acotadas también. Las funciones Lipschitz la cumplen. Las funciones cuadráticas no (por lo que es estrictamente más fuerte). Esto sugiere que podríamos caracterizarlas como funciones con un crecimiento como máximo lineal y un decaimiento como máximo lineal. Tal vez esto es lo que sas tenía en mente más arriba.

Answer 2

En cuanto a h), tiene razón.

Si $f$ está en el conjunto de todas las funciones con la propiedad (h), entonces existe $\varepsilon_f > 0$ s.t. $|x_1 - x_2| < \delta$ implica $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon_f$ para todos $\delta >0$ . Sea $x \in \mathbb{R}$ se dará. Por lo tanto, puede establecer $\delta =2|x|$ . Entonces, tenemos $|x-0| < \delta$ y, por tanto $|f(x)-f(0)| < \varepsilon_f$ y tenemos $$|f(x)| < \varepsilon_f + |f(0)|.$$

Por otra parte, si $f$ está acotada, entonces podemos tomar $\varepsilon = 2M$ donde $|f(x)| \leq M$ para todos $x \in \mathbb{R}$ Entonces $f$ está en el conjunto de todas las funciones con la propiedad (h).

Answer 3

Otro crack en f)

Creo que nos da una definición de algo que podríamos llamar "uniformemente acotado en cualquier intervalo finito"

La mera ausencia de polos garantiza que una función está acotada en todo intervalo finito. La clase de funciones que f) describe añade una restricción más: si te doy la anchura del intervalo, tienes que poder decirme un límite en el rango, independientemente de dónde se encuentre el intervalo .

Así, $f(x) = x^2$ no es una función adecuada--a medida que se desplaza a mayores $x$ la gama (en un intervalo de los valores fijos $\epsilon$ anchura) aumenta. La dirección $\delta$ en otras palabras, no puede ser sólo una función de $\epsilon$ para $f(x) = x^2$ pero también dependerá de $x$ .

$f(x) = ax+b$ Por otro lado, está bien: dame la anchura del intervalo y te diré el tamaño del rango; $f(x) = ln(x),\,x>1$ también funciona, creo. Ambas funciones son ilimitadas, pero su ilimitación está en cierto sentido "contenida".

No te dice nada sobre la continuidad, por supuesto, ya que una función igual a 1 en los racionales y 0 en los irracionales se ajusta claramente a la definición con un $\delta$ de 2 para cualquier $\epsilon$ . Pero en el caso de las funciones con derivadas, es posible que nos diga algo sobre la derivada: tal vez la derivada debe estar acotada o algo parecido (esto es una especulación basada en la intuición de la $f(x)=x^2$ ejemplo, el carácter ilimitado de la derivada parece indicar que no hay $\epsilon$ , $\delta$ se encontrará una relación independiente de $x$ . Parece que podrías demostrar sin demasiado trabajo que si la función tiene una derivada y la derivada está acotada entonces podrás llegar a un $\delta$ independiente de $x$ ya que la función nunca cambia "demasiado". Lo mismo ocurre con $ln(x) ,\, x \gt 1$ El $\frac 1 x$ tiene un bonito valor absoluto acotado en todas partes, lo que parece que limitaría el $\delta$ independientemente de dónde ubique el $\epsilon$ barrio).

Answer 4

Llamemos a una función $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ vagamente Lipschitz si existen constantes positivas $L$ y $K$ tal que para todo real $x$ y $y$ , $$|f(x)-f(y)| \le L|x-y|+K.$$ Reclamo $f$ es loosely Lipschitz si y sólo si se cumple la condición f).

Prueba: Es evidente que si $f$ es Lipschitz entonces f) se cumple con $\delta=L\epsilon+K$ para cada $\epsilon>0$ . En el otro sentido, supongamos que f) se cumple. Sea $\epsilon=2$ y elija $\delta>0$ en consecuencia. Entonces, dados reales distintos $x$ y $y$ existe un número entero positivo $m$ tal que $|x-y|\le m <|x-y|+1$ . En $r=(y-x)/m$ y $x_j=x+jr$ para $j=0,\ldots m$ tenemos $|r|\le1$ , $x_0=x$ y $x_m=y$ Por lo tanto $$|f(x)-f(y)| \le \sum_{j=1}^m |f(x_j-r)-f(x_j)| \le m\delta <\delta|x-y|+\delta.$$ Por lo tanto $f$ es vagamente Lipschitz.