Un juego con $\delta$ , $\epsilon$ y continuidad uniforme.

Question

ACTUALIZACIÓN : Recompensa concedida, pero sigue siendo turbio lo que f) es.

En Makarov Problemas seleccionados de análisis real hay un problema desafiante:

Describir el conjunto de funciones $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ con las siguientes propiedades ( $\epsilon, \delta,x_1,x_2 \in \mathbb R$ ) :

a) $\forall \epsilon \qquad\qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

b) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta \qquad \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

c) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, (x_1-x_2) < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

d) $\forall \epsilon >0 \qquad, \forall \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

e) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|>\epsilon$

f) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \epsilon \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\delta$

g) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, |f(x_1)-f(x_2)| > \epsilon \Rightarrow |x_1-x_2|> \delta$

h) $\exists \epsilon >0 \qquad, \forall \delta>0 \qquad, |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

i) $\forall \epsilon >0 \qquad, \exists \delta>0 \qquad, x_1-x_2 < \delta \Rightarrow f(x_1)-f(x_2)<\epsilon$

Esto es lo que todo el mundo conseguido hasta ahora:

a) $\{ \}$

b) todas las funciones

c) funciones constantes

d) funciones constantes

e) $\{ \}$

f) funciones acotadas en cualquier intervalo cerrado (no estoy seguro)

g) funciones continuas uniformes

h) funciones acotadas

i) No decreciente y uniformemente continua.

Gracias por sus sugerencias.

Answer 1

A) No hay funciones para las que $|f(x_1)-f(x_2)|<-1$ es cierto. Así es conjunto vacío .

b) Tengamos $\delta=-1$ y la afirmación es cierta. Cada función .

c) Toda función constante es buena. Supongamos que existen $x,y\; x<y,\; f(x)\neq f(y)$ . Para cada $\delta: \;x-y<\delta$ pero la conclusión no puede ser cierta así que sólo constantes .

d) Supongamos que la función no es una constante y la conclusión falla inmediatamente. Sólo constantes .

e) Sólo $x=y$ y ninguna función puede retenerlo. Conjunto vacío .

f) Que $f$ tienen una propiedad: $$\forall x>0\; ax+b\leq f(x)\leq ax+c,\; b\leq c,$$ $$\forall x<0\; Ax+B\leq f(x)\leq Ax+C,\; B\leq C.$$ Obtenemos para $x, y$ superior a $0$ $$|f(x)-f(y)|\leq|ax+c-ay-b|\leq |a||x-y|+|c-b|$$ y nuestro $\delta$ es mayor que $|a|\epsilon+c-b$ . Por negativo $x, y$ es lo mismo. Para $x,y$ de distinto signo la función está acotada en un intervalo cerrado, por lo que la afirmación es cierta y elegimos el máximo para nuestra acotación.
Y ahora podemos movernos $f$ a lo largo del $x$ -eje - todas las conclusiones serán las mismas.

En general, supongo, f) es el caso de funciones con módulo de continuidad finito - es sólo una definición. Pero no sé si este conjunto tiene un nombre especial o podría simplificarse.

g) En primer lugar, las funciones uniformemente continuas tienen $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta \; |x_1-x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$$ o (bastante simple) $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta \; |x_1-x_2| \leq \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| \leq \varepsilon$$ o $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta \; |f(x_1)-f(x_2)| > \varepsilon \Rightarrow |x_1-x_2| > \delta$$ Así que es sólo la definición de funciones uniformemente continuas .

h) Todo acotado satisface y para los no acotados se puede crear un ejemplo que negará la existencia de $\epsilon$ . Limitado .

i) En primer lugar, debe ser no decreciente porque $x_1-x_2\leq 0\implies f(x_1)-f(x_2)\leq 0$ . Y luego supongamos que es no decreciente. Entonces para $x>y$ es $|x-y|>\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$ que es la definición de continuidad uniforme. En $x\leq y$ es aún más sencillo. No decreciente y uniformemente continua.

Answer 2

No estoy de acuerdo contigo en e)

Tomemos por ejemplo la función $f = \mathbb 1_\mathbb Q$ . Es decir $\forall x \in \mathbb Q, f(x) = 1$ y $\forall x \in \mathbb R -\mathbb Q, f(x) = 0$ . Tomemos $\epsilon = 2$ podemos ver que $\forall x_1,x_2 \in \mathbb R,\forall \delta \gt 0, \lvert f(x_1) - f(x_2) \rvert \lt \epsilon$ por lo que esta función discontinua en todas partes no encaja.

Answer 3

Creo que (i) podrían ser funciones no decrecientes, uniformemente continuas.

Supongamos que existe $b \gt a$ tal que $f(b) \lt f(a)$ (es decir, $f$ está, en algún lugar, disminuyendo).

Toma $\epsilon = \frac{ f(a) - f(b)}{2}$ . No importa lo que $\delta$ se elige, $a - b \lt \delta$ porque $a \lt b$ y así $a - b \lt 0 \lt \delta$ . Pero $f(a) - f(b) = 2\epsilon > \epsilon$ por lo que no es adecuado $\delta$ puede existir. Por lo tanto ninguna función que decrezca puede satisfacer los criterios.

Si tenemos una función no decreciente, cualquier elección de $x_1 , x_2$ con $x_1 \lt x_2$ nos da un valor negativo para $f(x_1) - f(x_2)$ que será menor que cualquier épsilon positivo. Sólo queda, pues, poder elegir $\delta$ de forma que $\epsilon$ se cumple cuando $x_1 \gt x_2$ . Pero en esa situación, ambos $x_1 - x_2 = |x_1 - x_2|$ y $f(x_1) - f(x_2) = |f(x_1) - f(x_2)|$ y sólo estamos viendo la definición de continuidad uniforme.

Creo.

Hace unos 20 años que no meto las manos en estas cosas :).

Answer 4

Creo que por fin he conseguido la prueba de que (e) es el conjunto vacío (ver en el historial de ediciones de este comentario cómo he ido dando tumbos hasta llegar a la respuesta).

Creo que todo lo que tienes que hacer es elegir $x_2 = x_1$ ¿verdad? No positivo $\epsilon$ podrá satisfacer $|f(x_1) - f(x_2)| \gt \epsilon$

Answer 5

Estoy de acuerdo contigo en (a), (c), (d), (g), (h)

Para (b) diría "todas las funciones" porque $\delta$ puede ser negativo.

(e) es el conjunto vacío porque se puede tomar $x_1=x_2$ .

Para (i), diría "no decreciente y uniformemente continua". Si $f$ cumple (i), entonces no es decreciente porque $x_1-x_2\leq 0\implies f(x_1)-f(x_2)<\varepsilon$ para cualquier $\varepsilon >0$ . Además, $f$ también es uniformemente continua porque si $\vert x_1-x_2\vert\delta$ entonces tienes ambos $f(x_1)-f(x_2)<\varepsilon$ y $f(x_2)-f(x_1)<\varepsilon$ es decir $\vert f(x_1)-f(x_2)\vert <\varepsilon$ . A la inversa, supongamos que $f$ es no decreciente y uniformemente continua. Dado $\varepsilon >0$ Elige $\delta$ según la definición de continuidad uniforme. Si $x_1-x_2<\delta$ entonces $x_1\leq x_2$ en cuyo caso $f(x_1)-f(x_2)\leq 0<\varepsilon$ o $x_1>x_2$ en cuyo caso $\vert x_1-x_2\vert<\delta$ y por lo tanto $f(x_1)-f(x_2)\leq \vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\varepsilon$ .

Para (f), todavía no lo sé. Como has notado, (f) implica que la función debe estar acotada en cualquier intervalo acotado. Pero en realidad (f) dice que para cualquier $C$ el límite debe ser uniforme en todos los intervalos de longitud $\leq C$ . Esto implica que $f$ tiene como máximo un crecimiento lineal ( $\vert f(x)\vert \leq a\, \vert x\vert+b$ ) pero no a la inversa. Ahora mismo, no tengo una buena descripción de las funciones que satisfacen (f).

Edita. Gracias a @sas por señalar un error en la primera versión de mi respuesta; y echa un vistazo a su respuesta.