Encontrar una solución de forma cerrada para una recurrencia

Question

Abres una cuenta en un banco que paga un 5% de interés anual y depositas $a_0$ dólares en ella. Cada año retira 10 veces el número de años que ha tenido la cuenta. Por ejemplo, si empezó con 1000, el primer año ganaría 50 en intereses y retiraría 10, con lo que quedaría 1040, y el segundo año ganaría 52 y retiraría 20, con lo que quedaría 1072, y así sucesivamente.

(a) Encuentre una recurrencia para $a_n$ el saldo de la cuenta al cabo de n años.

(b) Resuelve la recurrencia para encontrar una forma cerrada para $a_n$ .

Para (a) obtuve $a_n = 1.05a_{n-1}-10n$ . Sin embargo, no tengo ni idea de cómo encontrar una forma cerrada para ello.

Answer 1

Establecer $b_n=1.05^{-n}*a_n$

Entonces $b_n=1.05^{-n}(1.05a_{n-1} -10n) = b_{n-1} - 10n*1.05^{-n}$

Es decir $b_n = a_0 - 10 \sum_{k=1}^n \frac{k}{1.05^k}$

Establezca ahora la suma general $F_n(x)=\sum_{k=1}^n k*x^k = x * \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^n x^k = x * \frac{d}{dx} \frac{x^{n+1}-x}{x-1} = x * \frac{((n+1)x^n-1)(x-1) - (x^{n+1}-x)}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2} $

Ahora tienes $b_n=a_0-10*F_n(\frac{1}{1.05})$ $a_n = 1.05^n \times (a_0 - 10 \times F_n(\frac{1}{1.05}))$ donde $F_n(x)=\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1} +x}{(x-1)^2} $ .

Esta es una expresión de forma cerrada, ahora puede que haya cometido errores, pero ya tienes el método general.

Answer 2

Una solución de recurrencias de la forma:

$\begin{align} x_{n + 1} - a_n x_n = f_n \end{align}$

es dividir por el factor sumatorio $s_n = a_0 a_1 \dotsm a_n$ :

$\begin{align} \frac{x_{n + 1}}{s_n} - \frac{x_n}{s_{n - 1}} = \frac{f_n}{s_n} \end{align}$

Sumando la última ecuación se obtiene la solución (normalmente desordenada). En tu caso, $s_n = 1.05^{n + 1}$ .