$\inf_{x\in A}{\limsup_nd(x_n, x)} = \limsup_n[\inf_{x\in A}d(x_n, x)] $ para el subconjunto compacto $A$ .

Question

Deje $ (X, d) $ sea un espacio métrico completo, $ A\subset X $ sea compacta y tome una secuencia $ (x_n) \subset X $ \ $ A $ como una secuencia acotada.

Dado que el ínfimo es independiente de n , ¿se cumple lo siguiente?

$$ \inf_{x\in A}{\limsup_nd(x_n, x)} = \limsup_n[\inf_{x\in A}d(x_n, x)] $$

No he encontrado contraejemplo.

Si no es cierto, dé un contraejemplo.

Answer 1

Considere $A=\{-1,1\}$ , $X=\Bbb R$ y $x_n=(-1)^n$ . LHS es $2$ mientras que RHS es $0$ .

Tras la solicitud adicional $x_n\notin A$ : Considere lo mismo $A$ y $$x_n=\begin{cases}4&\text{if }n\text{ is even}\\ -3&\text{if }n\text{ is odd} \end{cases}$$ $$d(x_n,1)=4,3,4,3,4,3,\ldots\\ d(x_n,-1)=2,5,2,5,2,5,\ldots$$ por lo que LHS es $4$ mientras que RHS es $3$ .