¿Qué hace que los elementos del álgebra sigma sean mensurables (y mensurables con respecto a qué medida)?

Question

Conozco la definición de álgebra sigma definida sobre un conjunto, que es una colección de subconjuntos cerrada bajo uniones contables y también bajo complementos. Mientras leía sobre teoría de la probabilidad, se mencionaba que al limitarnos al álgebra sigma, evitamos algunos comportamientos patológicos causados por lo que se denominan conjuntos no medibles.

1. De la definición de álgebra sigma, no veo cómo sólo consta de conjuntos medibles. ¿Es una implicación de la definición? En caso afirmativo, ¿cómo se evita admitir conjuntos no medibles en el álgebra sigma?
2. Cuando dicen mensurable/no mensurable, ¿de qué medida hablan? ¿Lebesgue, el recuento, la probabilidad? Parece que hay una medida implícita cada vez que alguien dice que un conjunto es medible/no medible.
3. ¿Puede alguien dar un ejemplo de un conjunto que sea medible con una medida pero no con otra?
4. ¿Hasta qué punto es importante preocuparse realmente por las álgebras sigma y los conjuntos medibles/no medibles? La mayoría de las distribuciones continuas se definen en la recta real y casi todos los subconjuntos de la recta real en los que puedo pensar forman parte del álgebra sigma y tienen una medida definida. Parece que estos conceptos se utilizan sobre todo en definiciones para tener una teoría concreta de la probabilidad. No recuerdo haber necesitado ninguno de esos conceptos mientras trabajaba con probabilidad/variables aleatorias. ¿Sólo son útiles estos conceptos para desarrollar más la teoría de la probabilidad?

Answer 1

1. Esto es por la definición de medida (ver la respuesta de @DEATH_CUBE_K)
2. Si no se especifica, suele ser la medida de Lebesgue. Si se trata de una variable aleatoria $X:(\Omega,\mathcal{F},P)\to\mathbb{R}$ la medida podría ser $P\circ X^{-1}$ dada por su función de distribución acumulativa.
3. Conjuntos Vitali $V$ no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue, pero sí con respecto a la medida cardinal (es decir. $\operatorname{card}(V)=\infty$ )
4. Los conjuntos no medibles se construyen de forma "no constructiva" (utilizando el axioma de elección), por lo que es comprensible que nunca nos encontremos con este tipo de conjuntos en aplicaciones de la vida real. Desde un punto de vista teórico, el teorema de Ulam dice que no se puede extender una medida continua sobre la recta real de forma que todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ son medibles, en particular hay subconjuntos de $\mathbb{R}$ que no son medibles Lebesgue. Trabajar con conjuntos no medibles lleva a comportamientos patológicos, como por ejemplo Paradoja de Banach-Tarski . También puede leer Conjunto no medible , da más información.

Answer 2

1. Sea $(X, \Sigma, \mu)$ sea un espacio de medidas, es decir $X$ es un conjunto no vacío, y $\Sigma \subset \mathcal{P}(X)$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ y $\mu: \Sigma \to [0,\infty]$ es una medida. Por definición, un conjunto $E \subset X$ es medible con respecto a $\mu$ sólo si $E \in \Sigma$ es decir, declaramos qué conjuntos deben ser medibles construyendo $\Sigma$ . Así, un conjunto no es medible si no pertenece a $\Sigma$ .

2. Cuando decimos que un conjunto es medible o no medible, siempre tenemos el espacio de medidas $(X, \Sigma, \mu)$ en mente. A veces, el espacio de medidas puede entenderse a partir del contexto.

3. Si dos medidas $\mu, \nu$ se definen en el mismo $\sigma$ -álgebra, digamos $\Sigma$ entonces no existe ningún conjunto que sea $\mu$ -medible por no $\nu$ -medible. Por lo tanto, habría que considerar espacios de medida totalmente distintos, lo que hace que la pregunta resulte un tanto esclarecedora.