Funciones aritméticas suma, $\sum_{d|n}\sigma(d)\phi(\frac{n}{d})$ y $\sum_{d|n}\tau(d)\phi(\frac{n}{d})$

Question

$$\sum_{d|n}\sigma(d)\phi\left(\frac{n}{d}\right)=n\tau(n) ,\\ \sum_{d|n}\tau(d)\phi\left(\frac{n}{d}\right)=\sigma(n)$$ El problema (7.4.15) de Burton Elemental de la Teoría de los números ha sido solicitar a demostrar el por encima de las igualdades. En este libro de Dirichlet multiplicación o Riemann zeta función no está expresado, antes de este problema. Además, sé que la primera vez, Pillai se ha demostrado que esta igualdades, pero no pude encontrar el Pillai del papel a la web. Por favor, puedes darme un link de Pillai del papel? o darme una prueba sin el uso de Dirichlet multiplicación o Riemann zeta función?

Answer 1

En términos de Dirichlet multiplicación $$\sigma*\phi=(\text{id}*1)*\phi=\text{id}*1*\mu*\text{id}=\text{id}*\text{id}=\text{id}\tau$ $ $$\tau*\phi=(1*1)*\phi=1*1*\mu*\text{id}=1*\text{id}=\sigma$ $

O tenga en cuenta que si $f$ y $g$ son multiplictive $v_p(n)$ la orden p-adic de $n$ entonces,

$$\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\prod_{p\mid n}\left(\sum_{k=0}^{v_p(n)} f(p^k)g(p^{v_p(n)-k})\right)$$

Ajuste $f=\sigma,\tau$ y $g=\phi$ y sustituir allí correspondientes valores en potencias primeras da ambos resultados.

O en términos de generación de funciones,

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n\tau(n)}{n^s}=\zeta(s-1)^2=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\phi(n)}{n^s}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sum_{d\mid n}\sigma(d)\phi(n/d)}{n^s}$$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(n)}{n^s}=\zeta(s)\zeta(s-1)=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\phi(n)}{n^s}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sum_{d\mid n}\tau(d)\phi(n/d)}{n^s}$$

Answer 2

Hay una solicitud de Pillai del papel o de la prueba. El papel es un poco difícil de encontrar y bastante antiguo, por lo que he escaneado. Se llama "En Una Función Aritmética", y fue publicado en Annamalai de la Universidad.

He hecho el escaneo disponibles en mi sitio web. [Presumiblemente voy a alojar en algún otro lugar, en algún momento - no sé de otra copia en línea]. La primera deseada de la ecuación es la combinación de su Teorema II y Teorema III, por ejemplo. La segunda ecuación deseada no está explícito resultado, sino que es un subproducto de otras pruebas y los resultados.

Answer 3

Probar que ambos lados son funciones multiplicative y que coinciden cuando $n$ es una energía primera.