Número previsto de ensayos hasta la finalización

Question

Tienes una distribución uniforme discreta: ¿cuál es el número esperado de intentos hasta que se alcanza cada punto al menos una vez?

Empecé a pensar en una distribución geométrica que representara cada punto individual: si la probabilidad de éxito es de 1/100 en la distribución uniforme, ¿el número de intentos hasta el primer éxito sería de 100? Es decir, para un punto por lo que tener 100 puntos = 10000 ensayos hasta que llegue a 100 puntos? Eso no suena bien, porque si no aciertas en un punto concreto, has acertado en otro punto distinto, así que no se trata exactamente de acertar por primera vez en un punto. ¿Qué me estoy perdiendo?

Pregunta complementaria: ¿qué porcentaje de puntos se espera alcanzar después de 100 ensayos?

Answer 1

Suena como el El problema del coleccionista de cupones a mí. Piénsalo de esta manera: si has alcanzado una cierta cantidad de puntos (llamémosla n de 100), la probabilidad de alcanzar un nuevo punto es $\displaystyle\frac{100-n}{100}$ . Es de esperar que sepas que el número esperado de ensayos hasta el éxito (es decir, la expectativa de una distribución geométrica) es $\displaystyle\frac{1}{p}$ . Aquí está el truco: el número esperado de intentos para alcanzar todos los puntos es el número esperado de intentos para alcanzar el primer punto + el número esperado para alcanzar el segundo punto +... Y como cada una de estas expectativas es $\frac{1}{p}$ se acaba viendo que la expectativa es la suma de los recíprocos de las probabilidades de obtener un nuevo punto, que resulta ser $N$ (el número total de puntos) por la suma armónica de $1$ a $N$ .