Esta puede ser una pregunta fácil. Dejemos que $p: X \rightarrow S$ sea un esquema de grupo relativo. En particular, las fibras son esquemas de grupo. Quiero saber si existen construcciones como el ``centro relativo'' o el ``grupo de automorfismo relativo'' y cómo se definirían de forma adecuada.
Respuesta
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Hay dos problemas. Uno es definir estos objetos primero como un functor, y luego investigar si los functores son representables. Esta respuesta se refiere al primer problema.
Esto se trata en SGA 3 Exposé I 2.1-2.3 desde el punto de vista de los objetos-grupo en la categoría de functores contravariantes conjunto-valorados sobre una categoría arbitraria. Para el caso de esquemas de grupos sobre una base $S$ se trataría de functores sobre la categoría de esquemas sobre $S$ con valores en grupos.
Los funtores de automorfismo pueden definirse entonces de forma directa como morfismos invertibles de un objeto a sí mismo en la misma categoría. También se pueden definir acciones de grupo, centralizadores y normalizadores de acciones y, por último, el centro de un grupo como el centralizador de la acción del grupo sobre sí mismo por conjugación.
Para los automorfismos, dando un elemento de $\text{Aut}_S(G)(T)$ para un $S$ -esquema $T$ se reduce a dar una familia de automorfismos del grupo $\text{Hom}(T',G)$ para cada esquema $T'$ en $T$ de forma que sea compatible con los mapas de transición inducidos por los morfismos $T''\rightarrow T'$ de esquemas sobre $T$ . Esto es lo mismo que dar un automorfismo del functor $G$ restringido a la categoría de esquemas sobre $T$ .
Del mismo modo, un punto functorial $\text{Cent}(G)(T)$ es un elemento del grupo $\text{Hom}_S(T,G)$ tal que la conjugación por cada pullback del mismo a través de un mapa $T' \rightarrow T$ de $S$ -induce la identidad en $\text{Hom}_{T}(T',G_T)$ .
Estas son las formas correctas de definir estos objetos. Si son representables como esquemas (de grupo) es otra cuestión, y no conozco el estado actual de la técnica. Espero que alguien con más conocimientos complete esta respuesta.
