Enteros algebraicos en el círculo unitario

Question

Consideremos un conjunto de enteros algebraicos que se encuentran en el círculo unitario, generarán un subgrupo multiplicativo de $\mathbb S^1$ . ¿Tienen nombre estos objetos?

Supongo que contienen información aritmética/teórica numérica útil, por ejemplo, si el conjunto generador es el conjunto de raíces de un polinomio irreducible, ¿qué tipo de información contendrían?

Tiene la estructura de grupo de los elementos de un campo numérico que se encuentran en el círculo unitario $\mathbb S^1$ y se ha estudiado el subgrupo del mismo formado por enteros algebraicos.

Le agradecería mucho que me sugiriera una referencia.

Saludos Vagabundo

PS

Estaría muy bien que me contestaras teniendo en cuenta que no sé mucho de Álgebra/ álgebra conmutativa/ geometría algebraica. Pero espero que eso no le impida responder.

Answer 1

"¿Tienen nombre estos objetos?"

Probablemente no. "Subgrupo multiplicativo de $S^1$ generado por enteros algebraicos" es bastante descriptivo, y no tiene una importancia tan fundamental como para que merezca la pena abreviarlo.

"Si el conjunto generador es el conjunto de raíces de un polinomio irreducible, ¿qué tipo de información contendrían?".

Casi ninguna. Suponiendo que sigues hablando de enteros algebraicos, si todas las raíces de un polinomio irreducible mónico tienen valor absoluto 1, entonces el polinomio es cilcotómico y las raíces son raíces de la unidad. Su grupo multiplicativo es entonces finito y bien entendido.

No estoy seguro de entender del todo tu tercera pregunta, pero parece que el primer comentario de Scott Carnahan te orienta en la dirección correcta. Para elaborar muy ligeramente, tenga en cuenta que si $\alpha$ es un entero algebraico en el círculo unitario, entonces también lo es $\alpha^r$ para cualquier $r\in\mathbb{Q}$ para obtener una copia de $\mathbb{Q}$ en su subgrupo multiplicativo para cada "independiente" tal $\alpha$ . Por supuesto, si estás dentro de un fijo campo numérico (que releyendo parece ser el objetivo de esta pregunta), al menos se obtiene el subgrupo $\alpha^n$ para $n\in\mathbb{Z}$ .

Answer 2

La pregunta es un poco ambigua porque "se encuentra en el círculo unitario" es ambiguo. Una pregunta más precisa sería:

Sea $S$ sea un conjunto de lugares arquimédicos de un campo numérico $K$ . ¿Cuál es el subgrupo $K_S \subset K^{\times}$ de números distintos de cero con $|x|_v = 1$ para todos $v \in S$ ?

1. Si llamamos complemento de $S$ (en el conjunto de lugares) $\bar{S}$ el grupo anterior se denomina $\bar{S}$ -unidades . Esta noción suele aplicarse a los $\bar{S}$ que contiene todos los lugares arquimedianos, por lo que $S$ no contiene ninguno. Pero no tenemos por qué ser tan restrictivos. Así que para responder a la primera pregunta: el nombre probablemente debería ser " $\bar{S}$ -unidades $\cap O_K^\times$ "

2. Supongamos que $S$ no está vacío. Para un no ciclotómico campo cuadrático el grupo parece estar vacío. Para los dos campos ciclotómicos excepcionales el grupo es, por supuesto, las raíces de la unidad. Supongo que para la mayoría de los campos el grupo es finito, y de hecho consiste en las raíces de la unidad en el campo (para la mayoría de las nociones de "la mayoría de los campos" que la mayoría de nosotros tenemos). Por supuesto, esto no tiene por qué ser así; por ejemplo, si el campo tiene un número Número de Salem .