Cambiar el argumento de una derivada de orden superior

Question

Empiezo con lo siguiente:

$$\frac{d^n}{dx^n} \left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]$$

Que es parte de la definición de Rodrigues de un polinomio de Gegenbauer. Los polinomios de Gegenbauer también son útiles en términos de funciones trigonométricas, así que quiero usar la sustitución $x = \cos\theta$ que es la forma habitual de hacerlo. Sin embargo, estoy atascado en cuanto a cómo funciona esto para la definición Rodrigues, porque me da una derivada con respecto a $\cos\theta$ en lugar de una derivada con respecto a $\theta$ :

$$\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n} \left[(\sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\right]$$

PREGUNTA: ¿Hay alguna forma de escribir esto como $\dfrac{d^n}{d\theta^n}[\text{something}]$ ?

He leído algo sobre la fórmula de Faa di Bruno para la $n$ -ésima derivada de orden de una composición de funciones pero no parece hacer lo que quiero.

Además, para n=1 existe la identidad, a partir de la regla de la cadena, $\dfrac{d}{d(\cos\theta)} \left[(\sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\right]=\frac{\frac{d}{d\theta} \left[(\sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\right]}{\frac{d}{d\theta} \left[\cos\theta\right]}$ pero esto no es válido para las derivadas de orden superior. ¿Alguna idea?

Answer 1

En lugar de la fórmula de Faa di bruno, puedes intentar generalizar la fórmula para $n^{th}$ derivada de la función inversa.

Sea $f,g$ sean funciones de $x$ e inversas entre sí. Sabemos que $\displaystyle f'=\frac{1}{g'}$ es decir $f'g'=1$ . Utilizando la regla de Leibniz, obtenemos

$\displaystyle (f'g')^{(n)}(\theta)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k+1)} g^{(k+1)}(\theta)=0 \cdots (1)$

Utilizando esta ecuación recursivamente con $x=cos^{2}\theta$ de modo que $f(\theta)=cos^{2}\theta$ y $f'(\theta)=-2sin\theta cos\theta$ se pueden encontrar los valores necesarios. Así, tenemos: $\displaystyle\frac{d}{d(cos^2\theta)}[(sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\mathbf{]}=\frac{1}{\frac{d}{d(\theta)}[(sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\mathbf{]}}=\frac{1}{2{sin\theta}^{2n+2\alpha-1}cos\theta}$ . A continuación, utilizando $(1)$ podemos determinar $\displaystyle{\frac{d^n}{d\theta^n}[(sin^2\theta)^{n+\alpha-1/2}\mathbf{]}}$ para $n>1$ también.

Answer 2

Podría estar equivocado, pero ahí es nada. Así que estás buscando hacer la sustitución $x = \cos\theta$ . Cuando lo haga, tendrá que cambiar $\frac{d}{dx}$ en $\frac{d}{d\theta}$ a través de la regla de la cadena. Dejemos que $f(x(\theta))$ sea la función que queremos diferenciar. De la regla de la cadena, $\frac{df}{d\theta} = \frac{df}{dx}\frac{dx}{d\theta}$ . ¿Sabes qué? $\frac{dx}{d\theta}$ es de su definición de $x$ para que puedas calcular esto. El resultado es $(-\sin(\theta))$ . Reescribiendo nuestra expresión, vemos que $\frac{df}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{d\theta}} \frac{df}{d\theta}$ o si eliminamos la función $f$ : $\frac{d}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{d\theta}} \frac{d}{d\theta}$ . Ahora haremos la sustitución apropiada para obtener $\frac{d}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)}\frac{d}{d\theta}$ .

De esto, $\left(\frac{d}{dx}\right)^n = (-1)^n \left(\frac{1}{\sin(\theta)} \frac{d}{d\theta}\right)^n$ . No estoy seguro de si existe una buena expresión en general para esto, pero es bastante fácil de calcular.