$\mathbb{R}^3$ No es el producto de dos espacios topológicos idénticos

Question

Sólo puedo probar esto para $\mathbb{R}$: Si $\mathbb{R}\cong T\times T$, $T$ incrusta en $\mathbb{R}$ como un subespacio cerrado (por ejemplo,$T\times pt$). Desde $\mathbb{R}$ está conectado, por lo que es $T$. Por lo $T$ debe ser un intervalo cerrado, entonces $T\times T$ es una plaza, cerca de un cuarto de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^2$, imposible.

Pero cuando se trata de a $\mathbb{R}^3$, no sé cómo caracterizar cerrado conectado subespacios, y no se puede utilizar para producir algo útil de afirmaciones.

P. S. Puede ser generalizado, por ejemplo si $X^n$ puede ser expresado como $m$veces producto de idénticas espacios, asumiendo algunas condiciones en $X$? Hay resultados generales acerca de la expresión de un espacio como un producto de algunos idénticos espacios?

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios, esta pregunta se ha preguntado y respondido en MathOverflow. Me han replicado la aceptó responder por Tyler Lawson a continuación.

No hay espacio que existe. Mejor aún, vamos a generalizar su prueba mediante la conversión de la información acerca de los componentes de la trayectoria en la homología de grupos.

Para abrir la inclusión de espacios de $X \setminus \{p\} \subset X$ y un campo de $k$, tenemos isomorphisms (la relativa Kunneth fórmula) $$ H_n(X \times X, X \times X \setminus \{(p,p)\}; k) \cong \bigoplus_{p+q=n} H_p(X,X \setminus \{p\};k) \otimes_k H_q(X, X \setminus \{p\};k). $$ Si el producto es $\mathbb{R}^3$, entonces el lado izquierdo es $k$ en grado 3 y cero de otra manera, así que algo en el lado derecho debe ser trivial. Sin embargo, si $H_p(X, X \setminus \{p\};k)$ eran triviales en grado $n$, entonces el lado izquierdo debe ser trivial en grado $2n$.