Compute $\int^t \tan(x)dx$ .

Question

He intentado calcular $\int^t \tan(x)dx$ de dos maneras diferentes, pero no obtengo el mismo resultado, ¿por qué?

Primera vía : $$\int^t \tan(x)dx=\int^t\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx\underset{u=\cos(x)}{=}-\int^{\cos(t)}\frac{1}{u}du=-\ln(\cos(t)).$$

segunda vía : $$\int ^t\tan(x)dx\underset{x=\arctan(u)}{=}\int^{\tan(t)}\frac{u}{u^2+1}du=\frac{1}{2}\ln(\tan^2(t)+1).$$

Dado que no obtengo el mismo resultado, ¿qué técnica es la correcta?

Answer 1

Para tu primera integral, es $\ln(|\cos(t)|)$ . Exceptuando este error, ambos son correctos ya que $$\frac{1}{2}\ln(\tan^2(x)+1)=\ln\left(\sqrt{\tan^2(x)+1}\right)$$ et $$\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$$