Espacio compacto pero no de Hausdorff

Question

Creo que este espacio podría ser un espacio compacto y no Hausdorff, pero no sé cómo demostrarlo.

Sea $x,y\in\mathbb{R}^n$ define $x\sim y\leftrightarrow\exists t\neq 0(x=ty)$ . Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia y $\mathbb{R}^n/\sim$ es un espacio compacto y no Hausdorff.

La estrategia podría consistir en construir un espacio no Hausdorff compacto "natural" y demostrar que son homeomorfos. Pero, ¿cómo conseguir tales espacios?

Answer 1

Sea $X = \mathbb{R}^n / \sim$ y consideremos el mapa de proyección $\pi : \mathbb{R}^n \to X$ que asigna cada punto a su clase de equivalencia. Por definición de la topología cociente, $\pi$ es continua. Si dejamos que $E = S^{n-1} \cup \{0\}$ consisten en la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ junto con el origen, entonces $E$ es compacto en $\mathbb{R}^n$ y $\pi(E) = X$ (como $E$ contiene al menos un punto de cada clase de equivalencia). Por lo tanto $X$ es la imagen continua de un conjunto compacto.

Para ver que no es Hausdorff, observe que el único conjunto abierto en $X$ que contiene la clase de equivalencia $[0]$ es $X$ sí mismo. De hecho, si $U$ está abierto en $X$ y contiene $[0]$ entonces $\pi^{-1}(U)$ contiene una vecindad de $0$ en $\mathbb{R}^n$ en particular, contiene un punto de cada clase de equivalencia. De hecho $U$ contiene cada clase de equivalencia en $X$ . Esto impide $X$ de ser Hausdorff, ya que no podemos encontrar barrios abiertos disjuntos de $[0]$ y cualquier otro punto.

Answer 2

Prueba la topología indiscreta { $\phi$ , $X$ } en cualquier espacio $X$ donde $X$ no es un singleton . Entonces $X$ es claramente compacta, pero no Hausdorff.

Answer 3

SUGERENCIA: $\mathbb{R}^n/\sim=\mathbb{P}^{n-1}\cup p$ donde $p$ es un punto genérico del mismo. Por tanto, es un cuasicompacto pero no Hausdorff.