Hace poco encontré un problema sobre teoría elemental de números: Sea $f(x)=x^2+x+1$ demostrar que hay infinitas $n\in N$ de modo que el mayor factor primo de $f(n)$ es inferior a $n^{1.1}$ .
La respuesta es fácil. Sólo tenemos que tomar $n=m^2$ Así que $f(n)=(m^2+m+1)(m^2-m+1)$ Para un $m$ la conclusión es obvia.
Pregunta Para cualquier polinomio $f(x)\in Z[x]$ y cualquier número real positivo $a$ ¿existen infinitas $n\in N$ de modo que el mayor factor primo de $f(n)$ es inferior a $n^a$
Observación La pregunta original es para algún polinomio específico como $x^k-1$ y en este caso sé que la proposición es cierta, lo que se puede demostrar mediante el polinomio ciclotómico. Pero para cualquier $f(x)\in Z[x]$ No sé si es correcto.
Intenté demostrar que siempre podemos tomar algún n con algunas formas especiales como $n=m^2$ como lo que hice antes para que $f(n)$ puede ser un polinomio reducible. Conseguí demostrarlo pero finalmente fracasé porque no sabía cómo tratar el factor de $f(n)$ después de la factorización.
Aunque las etiquetas incluyen "teoría elemental de números", creo que esta pregunta podría ser bastante difícil y no una pregunta elemental. Así que si alguien puede dar la respuesta o dar algún consejo, se lo agradecería.
PS .voy a publicar mi prueba a continuación cuando $f(x)=x^k-1$ .
Sea $n=y^m$ y luego $f(n)=y^{mk}-1$ . Sea $\Phi_i(x)$ es el i-ésimo polinomio ciclotómico por lo que tenemos $f(n)=\Pi_{d|mk}\Phi_d(y)$
El grado máximo de $\Phi_d(y)$ est $\phi (mk)$ por lo que sólo tenemos que demostrar $\phi (mk)<am$ . Supongamos que $(k,m)=1$ por lo que la desigualdad es $\frac{\phi (m)}{m}<\frac{a}{\phi (k)}$ . De hecho el LHS puede ser arbitrariamente pequeño porque sabemos que la suma recíproca de todos los números primos es divergente . Tomemos $m=p_1p_2......p_r$ donde $p_i$ son números primos diferentes y r es un número suficientemente grande, obtenemos la conclusión.
