Función de Green 1D: del intervalo a la línea infinita

Question

Consideremos dos problemas para la ecuación de difusión.

La primera: $$ u_t = a^2u_{xx},\qquad 0<x<l,\quad 0<t\leq T $$ $$ u(x,0) = \phi(x), \qquad 0 \leq x \leq l $$ \begin{equation} u(0,t)=0,\quad u(l,t)=0, \quad 0 \leq t \leq T \end{equation} y la segunda: $$ u_t = a^2u_{xx},\qquad -\infty <x<+\infty,\quad t>0 $$ $$ u(x,0) = \phi(x), \qquad -\infty < x < +\infty $$ Para ambos casos existen expresiones bien conocidas para la función de Green: $$ G_1(x,\xi,t) = \frac{2}{l}\sum_{n=1}^{\infty} \exp\left({-\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2}a^2t\right)\sin\frac{\pi nx}{l}\sin\frac{\pi n\xi}{l} $$ $$ G_2(x,\xi,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi a^2 t}}\exp{\left(-\cfrac{(x-\xi)^2}{4a^2t}\right)} $$ Así obtenemos soluciones para el primer problema (finito): \begin{equation} u(x,t)=\int\limits_0^lG_1(x,\xi,t)\phi(\xi)\,d\xi \end{equation} y para el segundo (infinito): \begin{equation} u(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G_2(x,\xi,t)\phi(\xi)\,d\xi \end{equation}

¿Hay alguna forma de obtener la función de Green para el caso infinito a partir de la función de Green para el rango $[0,l]$ (por ejemplo, indicando $\quad l\rightarrow+\infty$ ¿a qué se debe esta idea?) ¿O puede ser la segunda solución de la primera?

Answer 1

Sí, $G_2$ puede obtenerse como límite de $G_1$ pero primero haré un límite un poco más fácil.

Escriba a $${G}_1(x,\xi,t)=\frac{2}{l}\sum_{q} \exp\left(-q^2a^2t\right)\sin q x\sin q\xi,$$ donde $q=\frac{\pi n}{l}$ , $n=1,2,\ldots$ Ahora que $q_{j+1}-q_j=\frac{\pi}{l}$ para $l\rightarrow\infty$ tenemos $$\frac{\pi}{l}\sum_{q}\rightarrow \int_0^{\infty}dq,$$ y por lo tanto \begin{align}\lim_{l\rightarrow\infty}{G}_1(x,\xi,t)&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\exp\left(-q^2a^2t\right)\sin q x\sin q\xi\;dq=\\ &=\frac{1}{\sqrt{4\pi a^2t}}\left[\exp{\left(-\cfrac{(x-\xi)^2}{4a^2t}\right)}- \exp{\left(-\cfrac{(x+\xi)^2}{4a^2t}\right)}\right]. \end{align} Como se puede adivinar, se trata de la función de Green para la ecuación del calor en la semirrecta. Ahora las modificaciones para toda la línea serán las siguientes:

• En lugar de $G_1(x,\xi,t)$ se debe comenzar con la función de Green traducida $$\tilde{G}_1(x,\xi,t)=G_1(x-l/2,\xi-l/2,t).$$ Corresponde a la solución de la ecuación del calor en $[-l/2,l/2]$ .

• Del mismo modo, transforme la suma sobre $n$ en una integral sobre $q$ (tendrá que considerar impar e incluso valores de $n$ por separado). Evaluando las dos integrales gaussianas resultantes, se obtiene $G_2(x,\xi,t)$ .