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Función de Green 1D: del intervalo a la línea infinita

Consideremos dos problemas para la ecuación de difusión.

La primera: ut=a2uxx,0<x<l,0<tT u(x,0)=ϕ(x),0xl u(0,t)=0,u(l,t)=0,0tT y la segunda: ut=a2uxx,<x<+,t>0 u(x,0)=ϕ(x),<x<+ Para ambos casos existen expresiones bien conocidas para la función de Green: G1(x,ξ,t)=2ln=1exp((πnl)2a2t)sinπnxlsinπnξl G2(x,ξ,t)=14πa2texp((xξ)24a2t) Así obtenemos soluciones para el primer problema (finito): u(x,t)=l0G1(x,ξ,t)ϕ(ξ)dξ y para el segundo (infinito): u(x,t)=+G2(x,ξ,t)ϕ(ξ)dξ

¿Hay alguna forma de obtener la función de Green para el caso infinito a partir de la función de Green para el rango [0,l] (por ejemplo, indicando l+ ¿a qué se debe esta idea?) ¿O puede ser la segunda solución de la primera?

3voto

Dennis Puntos 9534

Sí, G2 puede obtenerse como límite de G1 pero primero haré un límite un poco más fácil.

Escriba a G1(x,ξ,t)=2lqexp(q2a2t)sinqxsinqξ, donde q=πnl , n=1,2, Ahora que qj+1qj=πl para l tenemos πlq0dq, y por lo tanto lim Como se puede adivinar, se trata de la función de Green para la ecuación del calor en la semirrecta. Ahora las modificaciones para toda la línea serán las siguientes:

  • En lugar de G_1(x,\xi,t) se debe comenzar con la función de Green traducida \tilde{G}_1(x,\xi,t)=G_1(x-l/2,\xi-l/2,t). Corresponde a la solución de la ecuación del calor en [-l/2,l/2] .

  • Del mismo modo, transforme la suma sobre n en una integral sobre q (tendrá que considerar impar e incluso valores de n por separado). Evaluando las dos integrales gaussianas resultantes, se obtiene G_2(x,\xi,t) .

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