Equivalencia de dos definiciones de la torsión de Whitehead

Question

En su libro Lecture Notes in Algebraic Topology, Davis y Kirk definen la torsión de un complejo de cadenas acíclico $C$ de la siguiente manera:

Desde $C$ es acíclico, existe un complejo de cadena simple $E,F$ y un isomorfismo de cadena $f: E \rightarrow F \bigoplus C$ (un complejo encadenado simple es una suma directa finita de complejos encadenados elementales que sólo tienen dos términos distintos de cero y el mapa de identidad entre estos dos términos). A continuación, definimos la torsión $\tau(C)$ de $C$ como $\sum_i (-1)^n [f_n: E_n \rightarrow F_n \bigoplus C_n] \in \tilde{K_1}(R)$ que puede demostrarse que es independiente de $E,F$ . Hay un ejemplar del libro en http://www.indiana.edu/~lniat/libro.pdf del sitio web de Kirk que contiene este material en el capítulo 11.

Otra definición de la torsión es la siguiente: Sea $C$ sea un complejo de cadenas acíclicas con $C_n$ un libre $R$ con la base especificada. Entonces existe una homotopía de cadena $s$ (que es una secuencia de mapas $s_n: C_n \rightarrow C_{n+1}$ ) entre la identidad y el mapa cero. Entonces $d + s$ es un isomorfismo entre $R$ -módulos $C_{odd}$ y $C_{even}$ . Entonces podemos considerar $[d+s] \in \tilde{K_1}(R)$ . Esto es lo mismo que la definición de wikipedia de la torsión de Whitehead en http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_torsion .

Me preguntaba si alguien puede ayudarme a ver por qué estas dos definiciones son iguales. Además, el ejercicio 198 del libro de Davis/Kirk es demostrar que estas dos definiciones son iguales. He podido utilizar $s$ construir explícitamente $E,F$ y un mapa $f$ entre $E$ y $F \bigoplus C$ pero no conseguí la equivalencia de las dos definiciones. Obtuve los siguientes módulos para $E$ y $F$ :

$E_n = C_1 \bigoplus C_2 \bigoplus C_3 \bigoplus ... \bigoplus C_n$

$F_n = C_1 \bigoplus C_2 \bigoplus C_3 \bigoplus ... \bigoplus C_{n-1}$ .

Answer 1

Tenemos que la torsión de Whitehead es la única función $\tau$ de la clase de complejos de base acíclica a $\tilde{K_1}(R)$ que satisfaga las tres propiedades siguientes.

1. Si $f:C\to C'$ es un isomorfismo simple (es decir, un isomorfismo de cadena tal que para todo $i$ , $[f_i]:=$ la imagen de $f_i:C_i\to C'_{i}$ en $\tilde{K_1}(R)$ corresponde al elemento de identidad), entonces $\tau(C)=\tau(C')$ .
2. $\tau(C\oplus C') = \tau(C)+\tau(C')$ .
3. $\tau(0\to C_n \xrightarrow{f} C_{n+1}\to 0) = (-1)^{n-1}[f]$ para cualquier isomorfismo $f$ de módulos basados $C_n$ y $C_{n+1}.$

La unicidad se demuestra como $(17.3)$ en "a course in simple-homotopy theory" de Marshall M. Cohen.

Ambas definiciones satisfacen esta caracterización: en Davis-Kirk es el teorema $11.12$ y para $[d+s]$ esto es $(17.1)$ de Cohen.

---

Una forma más rápida para un lector de Davis-Kirk es utilizar $(14.2)$ de Cohen, que se necesita en la prueba de Cohen $(17.3)$ de todos modos. Afirma que después de la suma directa con complejos en cadena elementales (o, simples, en la terminología de Cohen) $T,T'$ existe un isomorfismo simple $C\oplus T \xrightarrow{\sim} C'\oplus T'$ donde $$ C' = 0 \to C'_n \xrightarrow{f} C'_{n-1} \to 0 $$ para algunos impar $n$ con $C'_n = C_{\text{odd}}$ , $C'_{n-1}=C_{\text{even}}$ y $f = (d+s)|_{C_\text{odd}}$ . Por $1,2,3$ en la caracterización anterior demostrada como Teorema $11.12$ en Davis-Kirk, vemos que según la definición de Davis-Kirk, $\tau(C) = [[d+s)_\text{odd}]$ .