¿Existe un poset que tenga un elemento que no tenga sucesor inmediato y que tampoco sea maximal?

Question

Aquí está mi pregunta: si $A$ es un conjunto parcialmente ordenado y supongamos que algún elemento $a$ de $A$ no tiene ningún sucesor inmediato, ¿es $a$ maximal en $A$? La conversión es obviamente verdadera porque si $a$ fuera maximal entonces $a$ no puede tener un sucesor inmediato porque eso contradiría la definición. Ahora, si $A$ fuera bien ordenado y si asumo que $a$ no era maximal entonces el conjunto $\{ x\in A : a sería no vacío y así el mínimo elemento de este conjunto sería el sucesor inmediato. ¿Qué pasa en el caso de que $A$ no sea tan especial? Intenté pensarlo pero no pude encontrar una prueba ni un contraejemplo.

Answer 1

Sea $A = (-1,1] \cup (2,3)$ en el orden heredado de $\Bbb R$ (es decir, un orden lineal) tiene el elemento $1$ que no es maximal (por ejemplo, $2\frac12 \in A$ es mayor) pero no tiene sucesor inmediato.

También en $\Bbb R$ y $\Bbb Q$ todos los elementos no son maximos y ninguno de ellos tiene sucesores inmediatos.

Answer 2

Ordena los números naturales de modo que 1 sea menor que cualquier otro número, y el resto esté invertido:

1 < ...... < 7 < 6 < 5 < 4 < 3 < 2.

El número 1 en este orden cumple con tus requisitos: no es maximal pero no tiene un sucesor inmediato.