hallar el área de un círculo por integración

Question

Mi libro "explica" cómo hallar el área de un círculo mediante integración hallando primero el área de un semicírculo:

tome un semicírculo con el radio $r$ como la que se muestra a continuación:

$f(x)= \sqrt{r^2-x^2}$ es la función de este semicírculo, y hallar su área:

$A= \int _{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}$

sustituimos $x=r*cos(t)$

entre $t=0 \Rightarrow x=r*cos(0)=r $

y $t= \pi \Rightarrow x=r*cos(pi)= -r$ .

y $dx = -r*sin(t)dt$

y reescribir la integral como

$A = \int _{\pi}^0 \sqrt{r^2-r^2*cos^2(t)} (-r*sin(t))dt$

$A = \int _{\pi}^0 -r^2* \sqrt{1-cos^2(t)}sin(t)dt$

$A = r^2 \int _{0}^{\pi} sin^2(t)dt = \frac{\pi r^2}{2}$

donde el signo negativo de $-r^2$ y cómo se invirtieron los límites (es decir $0$ convirtiéndose en el límite inferior y $\pi$ convirtiéndose en el límite superior) ??

Answer 1

Lo siguiente podría explicar el asunto $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$$