Función inversa.

Question

Una función $h$ se define por $h:x\rightarrow 2-\frac{a}{x}$ donde $x\neq 0$ y $a$ es una constante. Dado $\frac{1}{2}h^2(2)+h^{-1}(-1)=-1$ encuentre los posibles valores de $a$ .

¿Puede alguien darme alguna pista? Gracias

Answer 1

Gracias por este problema. No estaba familiarizado con la notación $h^2(x)=h(h(x))$ pero está claro que esto es lo que hay que entender en este problema, ya que interpretar $h^2(x)=(h(x))^2$ no aporta soluciones reales.

Si $h(x)=2-\frac{a}{x}$ entonces podemos resolver para $h^{-1}(x)$ de la siguiente manera.

$x=2-\frac{a}{h^{-1}(x)} \Rightarrow x-2=-\frac{a}{h^{-1}(x)} \Rightarrow \frac{1}{x-2}=-\frac{h^{-1}(x)}{a} \Rightarrow -\frac{a}{x-2}=h^{-1}(x)=\frac{a}{2-x}$

Por lo tanto $h^{-1}(-1)=\frac{a}{3}$

Ahora bien, si interpretamos $h^2(x)$ es decir $h(h(x))$ entonces $$h^2(x)=h(2-\frac{a}{x})=2-\frac{a}{2-\frac{a}{x}}=2-\frac{a}{\frac{2x-a}{x}}=2-\frac{ax}{2x-a}=\frac{4x-2a-ax}{2x-a}$$

De modo que $\frac{1}{2}h^2(2)=\frac{1}{2}\frac{8-2a-2a}{4-a}=\frac{1}{2}\frac{8-4a}{4-a}=\frac{4-2a}{4-a}$

Introduciendo estos valores en la ecuación se obtiene

$$\frac{4-2a}{4-a}+\frac{a}{3}=-1 \Rightarrow \frac{12-6a+4a-a^2}{12-3a}=-1 \Rightarrow 12-2a-a^2=3a-12$$

Poniendo todo de lado obtenemos la siguiente ecuación cuadrática

$$a^2+5a-24=0$$

Esta ecuación es factorizable y nos da $(a+8)(a-3)=0 \Rightarrow a=3$ y $a=-8$ son soluciones.

Answer 2

En primer lugar, hallar la función inversa $h^{-1}$ . Es decir $y=2-a/x$ y por lo tanto $h^{-1}$ se define como

\begin{align}x=2-\frac{a}{y} \ \ & \Longrightarrow \ \ \frac{a}{y}=2-x\\ &\Longrightarrow y=\frac{a}{2-x}. \end{align} Ahora, $h(2)=2-a/2$ y $h^{-1}(-1)=a/3$ . Deberías poder continuar desde aquí y obtener una ecuación cuadrática en $a$ .

Editar . Aquí tienes un poco de ayuda extra. Su ecuación se puede evaluar con la información anterior:

\begin{align} \frac{1}{2}h^2(2)+h^{-1}(-1)&=\frac{1}{2}(h(2))^2+h^{-1}(-1)\\ &=\frac{1}{2}\left(2-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a}{3}\\ \end{align}