¿Cómo puedo demostrar que no existe un límite trigonométrico?

Question

Cómo puedo demostrar que no existe un límite trigonométrico, concretamente este límite:

$$\lim_{x\to0} x \cos\left(\frac{1}{x}\right) $$

He intentado tomar an =1/2 y x=/2, arbitrariamente y demostrarlo:

$$\lim_{x\to0} x \cos\left(\frac{1}{x}\right)0 $$

y $$\lim_{x\to0} x \cos\left(\frac{1}{x}\right)a$$ cuando $$a>0$$

y así sucesivamente para demostrar que negando la definición, pero no sé si esta es la forma correcta de hacerlo o si hay otra manera de hacerlo.

Gracias

Answer 1

El límite existe, de hecho por el teorema de squeeze

$$\left|x \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right|=\left|x \right|\cdot \left| \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x| \to 0 \implies x \cos\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$$